Лед

Пока лед тает, температура содержимого сосуда остается нулевой, а уровень воды меняется из-за разной плотности льда и воды. Что меняется после того, как весь лед растаял?

1. Начальная масса льда \(m_0\) из условия равновесия льдинки: \(T + m_0 g = \rho_0 V g\), где \(V = m_0/\rho\). Отсюда \(m_0 = \dfrac{T\rho}{(\rho_0 - \rho)g} = 63\) г.

2. Вначале все тепло, отводимое от горячей воды, идет на плавление льда, температура содержимого остается \(0\,^\circ\)C, и столбик термометра неподвижен относительно поверхности воды. Уравнение теплового баланса: \(c_0\mu\tau\,(t_1 - 0\,^\circ\text{C}) = \lambda\,\Delta m_{\text{л}}\). Поскольку плотность воды больше плотности льда, объем превратившегося в воду льда уменьшится на \[\Delta V = \Delta m_{\text{л}}\left(\frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho_0}\right) = \frac{c_0\mu\tau\,t_1(\rho_0 - \rho)}{\lambda\rho_0\rho}.\] Объем добавленной за время \(\tau\) воды равен \(\mu\tau/\rho_0\), поэтому общее изменение объема \(\Delta V_{\text{общ}} = \dfrac{\mu\tau}{\rho_0}\left(1 - \dfrac{c_0 t_1(\rho_0 - \rho)}{\lambda\rho}\right)\). Скорость подъема уровня воды, а с ним и границы столбика термометра: \(v_1 = \dfrac{\mu}{\rho_0 S}\left(1 - \dfrac{c_0 t_1(\rho_0 - \rho)}{\lambda\rho}\right) = 0{,}86\) мм/с.

Процесс завершится, когда весь лед растает, через время \(\tau_{\max} = \dfrac{\lambda m_0}{c_0\mu t_1} = 25\) с. Общая масса воды в сосуде к этому моменту \(m_{\text{общ}} = m + m_0 + \mu\tau_{\max} = 513\) г.

3. После того как весь лед растает, уровень воды будет расти только за счет добавления горячей воды: \(v_2 = \dfrac{\mu}{\rho_0 S} = 1\) мм/с.

4. Кроме этого, из-за повышения температуры содержимого сосуда столбик термометра поднимается относительно поверхности воды. Эта скорость максимальна в начале процесса и равна нулю при нагреве содержимого до температуры \(t_1\). Из уравнения теплового баланса \(c\mu\Delta\tau\,(t_1 - t_{\text{уст}}) = c\,m_{\text{общ}}\,(t_{\text{уст}} - 0\,^\circ\text{C})\) при малом \(\Delta\tau\) получаем \(t_{\text{уст}} = \dfrac{\mu\,\Delta\tau\,t_1}{m_{\text{общ}}}\). По рисунку шкалы повышение температуры на \(1\,^\circ\)C дает подъем столбика на \(3\) мм, поэтому скорость подъема столбика относительно поверхности воды \(v_{\text{ст}} = \dfrac{3~\text{мм}/^\circ\text{C}\cdot\mu t_1}{m_{\text{общ}}} = 1{,}16\) мм/с.

5. Скорость подъема верхней границы столбика относительно стола: а) в начале нагрева \(v_3 = v_2 + v_{\text{ст}} = 2{,}16\) мм/с; б) в конце нагрева \(v_2 = 1{,}0\) мм/с.