Тепловой индуктор

Элемент Пельтье состоит из двух пластин, разделённых большим количеством полупроводниковых блоков (рис. из «Википедии» ниже), и представляет собой преобразователь электрической энергии в тепловую. Он также может работать и в обратном режиме — вырабатывать ЭДС при наличии разности температур на пластинах.

На втором рисунке схематично изображено устройство на основе элемента Пельтье. Нижняя пластина находится в контакте с «тепловым резервуаром» — большим телом, температуру которого \(T_r\) можно считать постоянной. Верхняя пластина контактирует с телом с теплоёмкостью \(C\) и температурой \(T\), которая изменяется со временем. Сверхпроводящая катушка с индуктивностью \(L\) включена между контактами элемента. В начальный момент: \(T = T_0\), \(T_0 > T_r\).

В данных условиях верхнее тело отдаёт элементу за время \(\Delta t\) количество теплоты \(\Delta Q = \alpha T I \Delta t\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(I\) — ток через элемент. Положительным направлением тока считается направление от «плюса» к «минусу». Элемент Пельтье при этом вырабатывает ЭДС, которая равна \(\mathcal{E} = \alpha(T - T_r)\). Полярность создаваемой ЭДС (для \(T > T_r\)) совпадает с указанной на рисунке. Сопротивление элемента Пельтье равно \(R\).

Оказывается, в рассматриваемой системе возможно периодическое изменение температуры тела \(T(t)\) и тока в цепи \(I(t)\). В задаче предлагается исследовать колебания тока и температуры при различных значениях параметров: \(T_r\), \(T_0\), \(C\), \(\alpha\), \(R\), которые считаются известными. Ток в цепи в начальный момент равен нулю: \(I(0) = 0\). Разность температур тела и резервуара можно считать малой: \(|T - T_r| \ll T_r\) в любой момент времени.

1. Рассмотрим идеализированный, фантастический случай, когда сопротивление \(R\) равно нулю и теплообмен между тепловым резервуаром и телом за счёт теплопроводности отсутствует.

1a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\). (2 балла)

1b) Преобразуйте полученное уравнение с учётом условия \(|T - T_r| \ll T_r\) и найдите частоту \(\omega_0\) колебаний тока. (3 балла)

1c) Найдите зависимость температуры тела от времени \(T(t)\). (1 балл)

2. Физически случай, описанный в п. 1, никогда не реализуется. Рассмотрим параметры системы, близкие к реальности. Пусть известно сопротивление элемента \(R\), мощность передачи тепла от тела резервуару определяется соотношением \(P = k(T - T_r)\), где \(k\) — известный коэффициент, а Джоулево тепло, выделяющееся в элементе, делится поровну между пластинами. В этом случае колебания будут затухающими.

2a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\) в этом случае. (3 балла)

2b) Покажите, что нелинейными слагаемыми, пропорциональными \(I^2\) и \(I\dot I\), (точка сверху обозначает производную по времени) в уравнении из п. 2a) можно пренебречь и преобразуйте полученное уравнение к виду \(\ddot I + 2\gamma\dot I + \omega^2 I = 0\) (уравнение затухающих колебаний). Чему равны коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\)? (4 балла)

2c) Полагая затухание слабым (\(\gamma^2 \ll \omega^2\)), определите относительное изменение амплитуды тока за период \(\dfrac{\Delta I_{\max}}{I_{\max}}\). Ответ выразите через коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\). (3 балла)

3. Предлагается создать на основе данного устройства установку для точного измерения теплоёмкости тел. Параметры: \(T_r\), \(\alpha\), \(k\), \(R\), \(L\) известны. Их измерили раньше с высокой точностью. В распоряжении экспериментатора есть электроизмерительные приборы, осциллограф и генератор переменного напряжения, частоту которого можно менять в широком диапазоне. Опишите в двух словах возможную схему эксперимента. (2 балла)