Каустики

Каустика — это огибающая семейства лучей, не пересекающихся в одной точке. В плоском случае, рассматриваемом в этой задаче, каустика — это кривая, которой касаются все лучи, отражающиеся от некоторой поверхности, или испытывающие преломление на некоторой границе раздела. Интенсивность света вблизи каустики возрастает, поэтому кривые каустик хорошо видны невооружённым глазом и на фотографиях.

1. Кривая серого цвета на рисунке — это каустика, образованная после отражения пучка параллельных лучей цилиндрической поверхностью \(M\), радиус которой равен \(R\). Определите расстояние от оси цилиндра т. \(O\) до вершины каустики — т. \(A\), а также расстояние \(PA\). \(OO_1\) — ось симметрии, \(P_1P_2\) — касательная к каустике. (5 баллов)

2. Источник, освещающий цилиндрическую поверхность радиусом \(R\), располагается на расстоянии \(a = 4R\) от т. \(O\) на оси симметрии системы \(OO_1\). Определите расстояние от т. \(O\) до вершины каустики, формируемой отражёнными лучами в этом случае. (4 балла)

В тонкостенный стеклянный цилиндрический стакан наливают воду и освещают светом фонаря. Ось пучка света составляет разные углы \(\alpha\) с горизонтальной поверхностью стола в п. 3 и п. 4. В п. 3 стакан фотографируют сверху (оптическая ось объектива перпендикулярна дну стакана), а освещают справа. В п. 4 ось объектива немного отклоняется от перпендикуляра.

3. Величина угла \(\alpha\) около \(45^\circ\). Вблизи дна стакана наблюдается кривая с двумя вершинами, части которой напоминают кривую из п. 1. На рисунке вершины обведены квадратиками. Объясните наблюдаемую картину. (3 балла)

4. Радиус основания стакана равен \(R = 8\) см. Фонарь располагается на расстоянии \(a \approx 10R\) от оси стакана. Угол \(\alpha\) можно считать малым. Снаружи стакана видна каустика, образованная прошедшими через стакан лучами. Определите приближённо расстояние от стакана до вершины каустики (до вершины «конуса»). Показатель преломления воды равен \(n \approx 1{,}33\). (6 баллов)