Пластинка

Найдите массу каждого квадрата и массу одной части. Подумайте, какие квадраты должны быть рассечены линиями разреза, чтобы в каждой части оказалась одна и та же масса.

Вычислим массы каждого квадрата: \[m_{11} = \sigma_{11}a^2 = 400~\text{г}, \quad m_{12} = 240~\text{г}, \quad m_{21} = 200~\text{г}, \quad m_{22} = 120~\text{г}.\] Общая масса пластины \(m_0 = 960\) г. Так как массы четырёх частей после разрезания одинаковы, то масса каждой части \(m = m_0/4 = 240\) г.

Масса двух левых квадратов до разрезания больше, чем \(2m\), значит вертикальный разрез должен пройти по ним. Аналогично, масса двух верхних квадратов до разрезания больше, чем \(2m\), значит горизонтальный разрез должен пройти по ним. Поэтому точка пересечения линий разреза находится внутри верхнего левого квадрата.

Пусть горизонтальная координата точки пересечения линий разреза — \(x\), а вертикальная — \(y\). Суммарная масса двух левых частей после разрезания: \[M_{11} + M_{21} = 2m = \sigma_{11}\,x\,a + \sigma_{21}\,x\,a.\] Откуда \[x = \frac{2m}{a(\sigma_{11} + \sigma_{21})} = 0{,}8~\text{м}.\] Суммарная масса двух верхних частей после разрезания: \[M_{11} + M_{12} = 2m = \sigma_{11}(2a - y)\,a + \sigma_{12}(2a - y)\,a.\] Откуда \[y = \frac{2a^2(\sigma_{11} + \sigma_{12}) - 2m}{a(\sigma_{11} + \sigma_{12})} = 1{,}25~\text{м}.\] Найдём средние поверхностные плотности получившихся частей: \[\sigma_{11}' = \frac{m}{x(2a - y)} = 400~\text{г/м}^2 \quad \text{(левая верхняя)},\] \[\sigma_{12}' = \frac{m}{(2a - x)(2a - y)} \approx 267~\text{г/м}^2 \quad \text{(правая верхняя)},\] \[\sigma_{21}' = \frac{m}{xy} = 240~\text{г/м}^2 \quad \text{(левая нижняя)},\] \[\sigma_{22}' = \frac{m}{(2a - x)y} = 160~\text{г/м}^2 \quad \text{(правая нижняя)}.\]