Четыре пристани

Скорости лодки и катера относительно берега при движении по течению и против него равны \(v \pm u\) и \(2v \pm u\). Раз лодка и катер плыли одинаковое время по течению и против него, как связаны \(S_{AB}\), \(S_{CD}\) и \(\tau\)?

Лодка к пристани \(A\) движется против течения, а после разворота — по течению. Поэтому \[S_{AB} = (v - u)\tau, \qquad 2S_{AB} = (v + u)\tau.\] Откуда \(u = \dfrac{v}{3}\), \(S_{AB} = \dfrac{2}{3}v\tau\).

Поскольку лодка против течения и по течению плыла одинаковое время, в системе отсчёта реки она вернулась к месту старта. Но в таком случае и катер в системе отсчёта реки вернулся к месту старта, то есть так же плыл одинаковое время по течению и против него. Значит, \[S_{AB} + S_{CD} = (2v + u)\tau, \qquad S_{CD} = (2v - u)\tau.\] Откуда \(S_{CD} = \dfrac{5}{3}v\tau\).

После первой встречи лодка будет плыть до \(D\) в течение времени \[t_1 = \frac{S_{CD}}{v + u} = \frac{5v\tau/3}{4v/3} = \frac{5}{4}\tau.\] Катер будет плыть до \(A\) в течение времени \[t_2 = \frac{2S_{AB}}{2v - u} = \frac{4v\tau/3}{5v/3} = \frac{4}{5}\tau.\] Видно, что катер развернётся раньше лодки на \(t_1 - t_2 = \dfrac{9}{20}\tau\). За это время он успеет проплыть в направлении пристани \(D\) путь \(S_к = (2v + u)\dfrac{9\tau}{20} = \dfrac{21}{20}v\tau\). Тогда от момента поворота лодки в \(D\) до второй встречи с катером пройдёт время \[t_3 = \frac{2S_{AB} + S_{CD} - S_к}{3v} = \frac{13}{20}\tau.\] Значит, \[T = t_1 + t_3 = \frac{5}{4}\tau + \frac{13}{20}\tau = \frac{19}{10}\tau = 1{,}9\,\tau.\]