Модели стартёра

На рисунке изображена простейшая модельная схема подключения электродвигателя (автомобильного стартёра) к аккумулятору.

Параметр схемы \(R_\text{М} = 2\cdot 10^{-2}\) Ом моделирует сопротивление обмоток якоря двигателя, \(r\) и \(R_0\) — внутреннее сопротивление аккумулятора с ЭДС \(U_0 = 12\) В и сопротивление проводов, при этом \(R_0 + r = 10^{-2}\) Ом. Можно считать, что ЭДС индукции, вырабатываемая электродвигателем, пропорциональна угловой скорости вращения вала \(|\mathcal{E}_i| = k\omega\), а момент сил, действующих на вал со стороны магнитного поля, пропорционален току \(M = kI\). Для упрощения расчётов далее полагаем, что вал электродвигателя не нагружен.

1. Найдите напряжение \(U_{AB}\) на клеммах электродвигателя (между т. \(A\) и т. \(B\)) сразу после замыкания ключа, а также максимальное значение силы тока в цепи. Чему равен ток в момент, когда угловая скорость вращения вала составляет 75% от максимального значения? (3 балла)

Другая модельная схема (рис. ниже) учитывает наличие в конструкции удерживающей обмотки втягивающего реле, \(R_l\) — сопротивление катушки индуктивностью \(l\). При включении сначала замыкается ключ \(K_1\), а когда ток через катушку установится, замыкается ключ \(K_2\).

2. Считая, что отношение \(\alpha = \dfrac{R_l}{r+R_0}\) известно (\(\alpha > 1\)), определите максимальное значение тока через двигатель в этом случае. (4 балла)

3. При выключении электродвигателя (после того, как скорость вращения вала установится) сначала размыкают ключ \(K_1\). При этом напряжение на клеммах двигателя почти мгновенно увеличивается на \(\Delta U_{AB} = 2\) В. Определите по этим данным параметр \(\alpha\). (3 балла)

Наиболее близка к реальному устройству схема, изображённая на третьем рисунке. Ключи изначально разомкнуты. Поворот ключа зажигания соответствует замыканию ключа \(K_1\). Когда ток через катушку \(L\) достигает некоторого порогового значения \(I_\text{П}\) замыкается ключ \(K_2\) (магнитное поле катушки втягивает шток, замыкающий контакты ключа \(K_2\)).

4. Индуктивность второй катушки \(L\) и её сопротивление \(R_L\) таковы, что выполняются равенства: \(L = 10l\), \(R_l = 5R_L\). Известно, что значение тока \(I_\text{П}\) лежит между 10 А и 20 А. Чему равен ток через катушку индуктивности \(l\) в момент замыкания ключа \(K_2\)? Численное значение параметра \(\alpha\) считайте известным из п. 3). (2 балла)