Задачи › Движение по реке, переправы, ветер

Лодки на реке с меняющимся течением

  1. Лодки на реке с меняющимся течением

    Всесибирская 2022/23, отборочный этап, 7 кл. · №25325
    6/10PDF: условиес решением

    На берегу неширокой реки стоят две деревни — А и Б. Два приятеля выходят на одинаковых моторных лодках из этих деревень в \(4\) часа утра навстречу друг другу, ловят рыбу в месте встречи, а потом плывут по домам. Скорость течения реки весной была равна \(V_1=6\) км/ч, а к середине лета постепенно уменьшилась до \(V_2=3\) км/ч. Поэтому сначала место рыбалки находилось на расстоянии \(L_1=27\) км от А, но постепенно это расстояние уменьшилось до \(L_2=23\) км. Чему равно расстояние между деревнями, если все расстояния отсчитываются вдоль реки? Считать, что скорость лодки относительно воды всегда одна и та же.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Лодки выходят одновременно, значит, время до встречи одно и то же. Запишите это равенство для весны и для лета и исключите неизвестную скорость лодки относительно воды.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(L=38\) км.

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Пусть \(L\) — расстояние между деревнями, \(U\) — скорость лодки относительно воды. Деревня А выше по течению, Б — ниже: чем быстрее течение, тем ближе к нижней деревне место встречи. Лодка, идущая вниз по течению, движется со скоростью \(U+V\), идущая вверх — со скоростью \(U-V\).

    Лодки выходят одновременно и встречаются через одно и то же время. Весной: \[\dfrac{L_1}{U+V_1}=\dfrac{L-L_1}{U-V_1}\quad\Longrightarrow\quad U=\dfrac{LV_1}{2L_1-L}.\] Летом аналогично \[U=\dfrac{LV_2}{2L_2-L}.\] Приравнивая правые части, получаем \(V_1(2L_2-L)=V_2(2L_1-L)\), откуда \[L=\dfrac{2\,(L_2V_1-L_1V_2)}{V_1-V_2}=\dfrac{2\,(23\cdot6-27\cdot3)}{6-3}~\text{км}=38~\text{км}.\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх