Скрещённые провода

Линия поля навивается на провод \(X\) очень тугой спиралью, а радиус витка медленно меняется вдоль оси. Магнитный поток поля провода \(Y\) через сечение трубки из таких линий не меняется, потому что поле касается её боковой поверхности.

a) винтовая линия (спираль постоянного радиуса и постоянного шага) с осью на проводе;  b) \(d=\dfrac{r}{\sqrt{10}}\);  c) \(L=\dfrac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\,\dfrac12\!\left[3\sqrt{10}+\ln\!\left(3+\sqrt{10}\right)\right]\approx17{,}9\,\dfrac{a^2}{r}\approx 1{,}8\cdot10^2\) м (с допуском \(140\)–\(215\) м).

Что происходит. Магнитные линии поля одного провода — окружности вокруг него, а внешнее поле вдоль провода добавляет составляющую вдоль оси, и линия перестаёт замыкаться: она навивается на провод спиралью. В задаче с двумя проводами вблизи провода \(X\) поле \(\vec B_X\) намного сильнее поля \(\vec B_Y\), поэтому линии поля почти круговые, а проекция \(\vec B_Y\) на провод \(X\) медленно «растаскивает» витки вдоль оси. Главная идея: линии поля, проходящие через окружность радиуса \(r\) вокруг провода \(X\) в плоскости \(x=3a\), образуют трубку (воронку); поток поля через её сечение сохраняется, потому что поле касается боковой поверхности, а этот поток создаёт провод \(Y\).

Обозначения. \(\rho\) — расстояние от точки до оси \(x\) (провода \(X\)), \(B_X=\mu_0I/(2\pi\rho)\) — поле провода \(X\). На оси \(x\) в точке с координатой \(x\) расстояние до провода \(Y\) равно \(\sqrt{a^2+x^2}\), а поле провода \(Y\) равно \(B_Y=\mu_0I/\bigl(2\pi\sqrt{a^2+x^2}\bigr)\) и перпендикулярно отрезку к проводу \(Y\).

a) Линия поля при внешнем поле вдоль провода. Полное поле — сумма азимутального поля провода \(B_\varphi=\mu_0I/(2\pi\rho)\) (оно касается окружностей вокруг провода) и однородного внешнего поля \(B_0\) вдоль провода. Линия поля в каждой точке касается суммы, поэтому она не лежит в плоскости, перпендикулярной проводу, и не замыкается. Радиальной составляющей у поля нет, поэтому расстояние \(\rho\) до провода вдоль линии не меняется, а наклон линии \(B_0/B_\varphi\) при постоянном \(\rho\) постоянен: линия — винтовая линия с осью на проводе. За один оборот она смещается вдоль провода на \[\Delta z=2\pi\rho\,\frac{B_0}{B_\varphi}=\frac{4\pi^2\rho^2B_0}{\mu_0 I}\] (отношение смещения вдоль оси к длине дуги по окружности равно отношению составляющих поля). Если \(B_0\) направлено вдоль тока, винт правый, если против тока — левый. Чем ближе к проводу, тем сильнее \(B_\varphi\) и тем теснее витки.

Рис. 2. Линия поля при \(\vec B_0\) вдоль тока: правая винтовая линия с осью на проводе (вид слегка сверху, светлые участки лежат за проводом).

b) Наименьшее расстояние.

Форма линии. Рядом с проводом \(X\) при \(\rho\ll a\) поле \(B_X\gg B_Y\), поэтому, как в пункте a), линия почти круговая, но составляющая \(B_\parallel\) поля \(\vec B_Y\) вдоль провода \(X\) медленно смещает виток вдоль оси: линия — тугая спираль, радиус которой \(\rho(x)\) плавно меняется. Наименьшее расстояние до провода \(X\) — наименьшее значение \(\rho(x)\).

Трубка потока. Проведём линии поля через все точки окружности радиуса \(r\) вокруг провода \(X\) в плоскости \(x=3a\). Они образуют поверхность \(S\) — «воронку», сечение которой плоскостью \(x=\mathrm{const}\) почти круговое, пока \(\rho\ll\sqrt{a^2+x^2}\) (поле \(\vec B_Y\) мало меняется поперёк сечения). Это условие проверим ниже. Поле касается \(S\) в каждой точке, поэтому поток через боковую поверхность равен нулю, и поток через сечение воронки не зависит от \(x\).

Рис. 3. Воронка \(S\) вокруг провода \(X\): наименьший радиус \(d\) при \(x=0\), радиус \(r\) при \(x=3a\) (в точке P). Виток спирали схематичен, соотношение \(d/a\) сильно увеличено.

Продольная составляющая поля. Поток через сечение создаёт только продольная составляющая поля провода \(Y\) (поле \(\vec B_X\) лежит в плоскости сечения). Найдём её на оси при координате \(x\): поле \(\vec B_Y\) перпендикулярно отрезку длиной \(\sqrt{a^2+x^2}\) от провода \(Y\) до точки, и угол между \(\vec B_Y\) и осью \(x\) равен углу \(\theta\) между отрезком \(a\) и отрезком до точки, \(\cos\theta=a/\sqrt{a^2+x^2}\): \[B_\parallel=B_Y\cos\theta=\frac{\mu_0I}{2\pi}\,\frac{a}{a^2+x^2}.\]

Рис. 4. Сечение плоскостью, перпендикулярной проводу \(Y\) (ток \(Y\) — от нас): поле \(\vec B_Y\) в точке \(x\) на проводе \(X\) перпендикулярно отрезку до \(Y\), его проекция на ось \(x\) — \(B_\parallel=B_Y\cos\theta\).

Сохранение потока. Поле \(B_\parallel\) почти однородно по сечению воронки, так как \(\rho\ll\sqrt{a^2+x^2}\), поэтому поток через сечение радиуса \(\rho(x)\): \[\Phi=\pi\rho^2B_\parallel=\frac12\,\mu_0Ia\,\frac{\rho^2}{a^2+x^2}=\text{const}\quad\Longrightarrow\quad\frac{\rho^2}{a^2+x^2}=\text{const}.\] На поверхности \(S\) при \(x=3a\) радиус равен \(r\), то есть \[\frac{\rho^2}{a^2+x^2}=\frac{r^2}{a^2+9a^2}=\frac{r^2}{10\,a^2}.\] Отсюда радиус воронки \[\rho(x)=\frac{r}{\sqrt{10}\,a}\sqrt{a^2+x^2}.\] Он минимален при \(x=0\): \[\boxed{d=\rho(0)=\frac{r}{\sqrt{10}}}.\]

Проверка условия \(\rho\ll\sqrt{a^2+x^2}\). Отношение \(\rho/\sqrt{a^2+x^2}=r/(\sqrt{10}\,a)\) постоянно вдоль всей воронки и при \(r/a=10^{-2}\) равно \(3\cdot10^{-3}\), то есть условие выполнено на всей длине.

Обратите внимание: линия поля наименее удалена от провода при \(x=0\), там, где провод \(Y\) ближе всего к оси: чем сильнее \(B_\parallel\), тем сильнее «сжатие» потока. Поэтому воронка сужается к середине, а не расширяется.

c) Длина линии. Витков очень много, так что \(L\gg r\) и \(L\gg a\), и точное положение точки наибольшего приближения Q на витке не важно: с точностью до нескольких \(r\) можно считать, что Q лежит при \(x=0\).

Элемент длины. Составляющие поля вдоль оси и поперёк неё определяют наклон линии: приращение координаты \(dx\) при длине дуги \(dL\) \[dx=\frac{B_\parallel}{B_\perp}\,dL\quad\Longrightarrow\quad dL=\frac{B_\perp}{B_\parallel}\,dx .\] Поперечную составляющую \(B_\perp\) создаёт в основном провод \(X\): \(B_\perp=\mu_0I/(2\pi\rho)\) (вклад \(\vec B_Y\) составляет долю порядка \(\rho/\sqrt{a^2+x^2}\sim3\cdot10^{-3}\), а нужная точность — \(20\,\%\)), продольную — провод \(Y\) (формула выше). Тогда \[dL=\frac{a^2+x^2}{a\,\rho}\,dx,\qquad L=\int_0^{3a}\frac{a^2+x^2}{a\,\rho(x)}\,dx .\] Подставим \(\rho(x)\) из пункта b): \[L=\int_0^{3a}\frac{\sqrt{10}\,\sqrt{a^2+x^2}}{r}\,dx=\frac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du,\qquad u=\frac xa .\]

Интеграл. Достаточно грубой оценки: заменим \(\sqrt{1+u^2}\) отрезком от \(1\) до \(\sqrt{10}\) (одна трапеция): \[\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du\approx3\cdot\frac{1+\sqrt{10}}{2}\approx6{,}24 .\] Точное значение подстановкой \(u=\operatorname{sh}\beta\): \[\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du=\frac12\Bigl[3\sqrt{10}+\ln\bigl(3+\sqrt{10}\bigr)\Bigr]\approx5{,}65 .\]

Рис. 5. Подынтегральная функция \(\sqrt{1+u^2}\): площадь под кривой \(\approx5{,}65\), площадь трапеции \(\approx6{,}24\) (разница меньше 11 %).

Число. Точно: \[L=\frac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\cdot5{,}65\approx17{,}9\,\frac{a^2}{r}=17{,}9\cdot\frac{(0{,}10)^2}{1{,}0\cdot10^{-3}}\ \text{м}\approx\boxed{1{,}8\cdot10^2\ \text{м}}.\] С трапецией получилось бы \(19{,}7\,a^2/r\approx2{,}0\cdot10^2\) м, то есть в пределах допустимых \(20\,\%\).

Проверка. Размерность: \(a^2/r\) — длина, \(d=r/\sqrt{10}\) — длина. Второй способ для \(L\): за один оборот линия смещается вдоль оси на \(\Delta x=2\pi\rho\,B_\parallel/B_\perp=2\pi\rho^2a/(a^2+x^2)=2\pi d^2/a\) — величину, не зависящую от \(x\), поэтому число оборотов от \(x=3a\) до \(x=0\) равно \(N=3a/\Delta x=3a^2/(2\pi d^2)\approx4{,}8\cdot10^4\). Длина одного оборота \(2\pi\rho\), и \[L=\int_0^{3a}2\pi\rho\,\frac{dx}{\Delta x}=\frac{a}{d^2}\int_0^{3a}\rho\,dx=\frac{a}{d}\,a\int_0^3\sqrt{1+u^2}\,du=\frac{\sqrt{10}\,a^2}{r}\cdot5{,}65 ,\] то же выражение. Численно \(L=178{,}8\) м. Смысл: длина линии в десятки тысяч раз больше радиуса воронки, потому что линия делает десятки тысяч оборотов, пока доходит до сечения \(x=0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.