Солнечная ножка

Все лучи параллельны, а отражение от вертикальной стенки не меняет угол наклона луча к полу, поэтому вдоль света пятно такой же длины, как полоска прямого света. Сравните ширину пучка \(\delta x=a\cos\alpha\,\delta\alpha\) до отражения с шириной пятна \(2l\,\delta\alpha\) после него.

a) \(I\approx\dfrac{I_0\,a}{2r}\sin\dfrac\theta2\);  b) \(R(\theta)-R_{\min}\approx 2a\sin\dfrac\theta2\).

Что происходит. Солнечные лучи идут параллельным пучком и наклонены к горизонту под одним и тем же углом \(\gamma\). Часть из них попадает на цилиндрическую зеркальную ножку и отражается: вертикальная составляющая скорости луча не меняется, горизонтальная только поворачивается. Поэтому отражённый луч продолжает идти вниз под тем же углом \(\gamma\) и ложится на пол в виде света, дополнительного к прямому. Главная идея: поток энергии, отражённый от узкой вертикальной полоски цилиндра, делится между лучами с углами падения \(\alpha\) и \(\alpha+\delta\alpha\); после отражения эти лучи расходятся веером с углом \(2\,\delta\alpha\), и освещённость на полу — это отношение потока к площади пятна.

Обозначения. Начало координат — на оси ножки, ось \(y\) — горизонтальная проекция направления света (свет идёт в сторону \(+y\), туда же падает тень ножки), ось \(x\) — горизонтально поперёк света. Луч, идущий на расстоянии \(x\) от оси ножки (прицельный параметр), падает на цилиндр под углом \(\alpha\) к нормали: \(x=a\sin\alpha\), \(0\le\alpha\le\pi/2\). \(l\) — горизонтальное расстояние от точки отражения на ножке до точки на полу, \(r\) — расстояние от оси ножки до этой точки, \(\theta\) — полярный угол точки на полу, отсчитанный от направления тени ножки (от оси \(y\)). «Избыток» \(I\) создают отражённые лучи.

Что такое \(I_0\). Точки A и B на фотографии очень близки, но одна освещена прямым солнцем, а другая лежит в тени. Рассеянный свет комнаты в них одинаков, поэтому разность освещённостей \(I_0\) — это освещённость пола прямым солнечным светом, то есть «избыток», который создаёт прямой пучок.

Рис. 3. Вид сверху: луч падает на цилиндр под углом \(\alpha\) к нормали, отражается под таким же углом и достигает пола в точке, находящейся на расстоянии \(l\) от точки отражения и \(r\) от оси.

a) Освещённость.

Направление отражённого луча. По закону отражения (угол падения равен углу отражения, нормаль лежит в плоскости луча и нормали) горизонтальная проекция луча поворачивается на угол \(\pi-2\alpha\) относительно направления падения. Точка на полу, куда придёт луч, лежит от оси ножки под углом \[\theta\approx\pi-2\alpha .\] Отличие \(\theta\) от \(\pi-2\alpha\) определяется малым углом \(\epsilon\sim a/r\) при вершине треугольника «ось — точка отражения — точка на полу»; при \(r\gg a\) им можно пренебречь.

Сколько лучей и откуда. Каждой точке пола (при \(r\gg a\)) соответствует единственный отражённый луч: \(\theta\) определяет \(\alpha=(\pi-\theta)/2\), а знак \(\theta\) — с какой стороны ножки произошло отражение. При \(\alpha=\pi/2\) (скользящее падение) \(\theta=0\), при \(\alpha=0\) (лобовое падение) \(\theta=\pi\) — свет возвращается к источнику.

Ширина пятна от узкого пучка. Рассмотрим малый промежуток углов падения от \(\alpha\) до \(\alpha+\delta\alpha\). До цилиндра он соответствует узкому пучку шириной \(\delta x\): \[\delta x=a\cos\alpha\,\delta\alpha .\] Отражённые лучи этого пучка расходятся с углом \(2\,\delta\alpha\) друг к другу: если угол падения вырос на \(\delta\alpha\), то направление отражённого луча повернулось на \(2\,\delta\alpha\). На расстоянии \(l\) от точки отражения ширина пятна поперёк лучей равна \(l\cdot 2\,\delta\alpha\).

Рис. 4. Два близких луча (угол падения \(\alpha\) и \(\alpha+\delta\alpha\); приращение сильно увеличено). Пучок шириной \(\delta x\) после отражения расходится с углом \(2\,\delta\alpha\), как из мнимой точки \(V\) внутри цилиндра, и даёт на полу полоску шириной \(l\cdot2\,\delta\alpha\).

Длина пятна. Все лучи идут под одним углом \(\gamma\) к горизонту, и отражение от вертикальной стенки не меняет ни вертикальную составляющую скорости, ни модуль горизонтальной. Поэтому луч, попавший на цилиндр на высоте \(h\), достигает пола на горизонтальном расстоянии \(l=h\,\mathrm{ctg}\,\gamma\) от точки отражения. Возьмём два параллельных луча с одним и тем же \(x\) (в одной вертикальной плоскости), которые падали бы на пол на расстоянии \(\delta y\) друг от друга вдоль оси \(y\): на ножке они попадут на одну вертикаль на высотах, отличающихся на \(\delta h=\delta y\,\mathrm{tg}\,\gamma\). Тогда длина пятна на полу \[\delta l=\delta h\,\mathrm{ctg}\,\gamma=\delta y ,\] то есть вдоль света пятно имеет ту же длину, что и полоска прямого света, на которую пришёлся бы этот пучок.

Рис. 5. Вид сбоку (отражённый луч повёрнут вокруг вертикали в плоскость падающего): луч идёт под углом \(\gamma\) к горизонту, точка отражения на высоте \(h\) и на расстоянии \(a\cos\alpha\) от оси, \(l=l_0+a\cos\alpha\).

Закон сохранения энергии для пучка. Свет, который шёл бы на горизонтальную площадку \(\delta x\,\delta y\) и создавал на ней освещённость \(I_0\), после отражения от ножки попадает на площадку \((l\cdot 2\,\delta\alpha)(\delta l)=2l\,\delta\alpha\,\delta y\). Отражение идеальное, поверхность гладкая, поэтому энергия сохраняется; угол наклона лучей к полу тот же, поэтому поток через горизонтальную площадку равен произведению освещённости на площадь: \[I_0\,\delta x\,\delta y=I\cdot 2l\,\delta\alpha\,\delta y\quad\Longrightarrow\quad I_0\,\delta x=2I\,l\,\delta\alpha .\] Подставим \(\delta x=a\cos\alpha\,\delta\alpha\) и сократим \(\delta\alpha\): \[I=\frac{I_0\,a\cos\alpha}{2l} .\]

Переход к \(r\) и \(\theta\). Из \(\theta\approx\pi-2\alpha\) следует \(\alpha=(\pi-\theta)/2\) и \(\cos\alpha=\sin(\theta/2)\). При \(r\gg a\) расстояния \(l\) и \(r\) различаются на величину порядка \(a\), то есть \(l\approx r\): \[\boxed{I(r,\theta)\approx\frac{I_0\,a}{2r}\,\sin\frac\theta2},\qquad 0<\theta<\pi\] (при отрицательных \(\theta\) ту же формулу нужно писать с \(|\theta|\): картина симметрична относительно линии тени).

Высота ножки и угол \(\gamma\) в ответ не вошли: прямой и отражённый пучки наклонены к полу под одним и тем же углом, и он сократился.

Рис. 6. Избыток освещённости в безразмерном виде \(2rI/(I_0a)=\sin(|\theta|/2)\): нуль вдоль тени (\(\theta=0\)), максимум при \(\theta=\pi\) (свет возвращается к источнику); спадает как \(1/r\).

b) Тёмное кольцо. Тёмное кольцо создают лучи, которые закрыты пальцем. Для среднего кольца палец примерно горизонтален: он закрывает все лучи, которые на уровне оси ножки проходят на одной и той же высоте \(h_0\). Так как все лучи параллельны, на цилиндр такой луч попадает в точке, смещённой от оси в сторону источника на \(a\cos\alpha\), то есть выше на \(a\cos\alpha\,\mathrm{tg}\,\gamma\). Высота точки отражения \[h=h_0+a\cos\alpha\,\mathrm{tg}\,\gamma,\] а горизонтальное расстояние до точки на полу \[l=h\,\mathrm{ctg}\,\gamma=l_0+a\cos\alpha,\qquad l_0=h_0\,\mathrm{ctg}\,\gamma .\] Здесь \(l_0\) — значение \(l\) при \(\alpha=\pi/2\): тогда \(\cos\alpha=0\) и точка отражения лежит над осью (рис. 5). Именно из-за слагаемого \(a\cos\alpha\) радиус кольца зависит от \(\theta\).

Минимальный радиус. Он достигается при \(\alpha=\pi/2\), то есть при \(\theta\approx0\) (вдоль тени), и равен \(R_{\min}\approx l_0\) с точностью до членов порядка \(a^2/r\): при \(\alpha=\pi/2\) точка отражения на цилиндре лежит в одной вертикальной плоскости с осью, и \(r\) отличается от \(l\) только малым поворотом на угол \(\epsilon\sim a/r\).

Теорема косинусов. В треугольнике «ось — точка отражения — точка на полу» стороны равны \(a\), \(l\) и \(r\), а угол при точке отражения между направлениями на ось и на точку на полу равен \(\beta=\pi-\alpha\) (угол падения \(\alpha\) отложен от внешней нормали, поэтому к внутренней нормали он дополнительный): \[r^2=a^2+l^2-2al\cos\beta=a^2+l^2+2al\cos\alpha .\] Подставим \(l=R_{\min}+a\cos\alpha\) и отбросим слагаемые порядка \(a^2\) (они дают поправки порядка \(a^2/r\) к \(r\)): \[r^2\approx R_{\min}^2+4aR_{\min}\cos\alpha ,\qquad r\approx R_{\min}+2a\cos\alpha .\] Здесь \(r=R(\theta)\) и \(\cos\alpha=\sin(\theta/2)\): \[\boxed{R(\theta)-R_{\min}\approx 2a\sin\frac\theta2},\qquad 0\le\theta\le\pi .\]

Обратите внимание на множитель \(2\): радиус растёт за счёт двух одинаковых вкладов. Первый — расстояние \(l\) от точки отражения до пола, \(l=l_0+a\cos\alpha\). Второй — сама точка отражения лежит на расстоянии \(a\cos\alpha\) от оси со стороны источника, а пятно на полу — по другую сторону от оси, поэтому \(r\approx l+a\cos\alpha\).

Рис. 7. Вид сверху: форма кольца \(R(\theta)=R_{\min}+2a\sin(|\theta|/2)\) (толщина \(2a\) увеличена для наглядности). Кольцо прижато к окружности радиуса \(R_{\min}\) вдоль тени и дальше всего от ножки при \(\theta=\pi\), где \(R_{\max}-R_{\min}=2a\), диаметр цилиндра.

Проверка. Размерность: \(a/r\) безразмерно, поэтому \(I\) измеряется в единицах \(I_0\); \(R-R_{\min}\) — длина. Баланс энергии: поток отражённого света через дугу радиуса \(r\) на отрезке \(\delta r\) равен \(\int I\,r\,d\theta\,\delta r\) по \(-\pi<\theta<\pi\): \[\int_{-\pi}^{\pi}\frac{I_0a}{2r}\sin\frac{|\theta|}{2}\,r\,d\theta=I_0a\int_0^{\pi}\sin\frac\theta2\,d\theta=2aI_0 .\] Это в точности поток прямого света, перехваченного цилиндром на той же длине \(\delta y\): тень шириной \(2a\) при освещённости \(I_0\) даёт \(2aI_0\) на единицу длины. Предел \(\theta\to0\): свет скользит вдоль цилиндра, избытка нет (\(I\to0\)), кольцо совпадает с окружностью \(R_{\min}\). Предел \(\theta=\pi\): луч возвращается к источнику, точка отражения — крайняя точка ножки со стороны источника, и \(R_{\max}-R_{\min}=2a\) — диаметру цилиндра: \(a\) даёт расстояние \(l\), ещё \(a\) — смещение точки отражения от оси.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.