Задачи › Работа и мощность

Транспортёр с воздушными шарами

  1. Транспортёр с воздушными шарами

    Курчатов 2015/16, 9 кл.
    5/10

    На ленте длинного транспортёра, имеющего два горизонтальных участка и один наклонный, движутся с постоянной скоростью одинаковые грузы массой \(M\). Грузы расположены вдоль ленты на одинаковых расстояниях друг от друга и не скользят по ней. Лента приводится в движение мотором постоянной мощности. С нижнего горизонтального участка транспортёра на верхний поднимается \(N\) грузов в минуту. После того, как к каждому грузу привязали воздушный шар массой \(m\) и объёмом \(\upsilon\), транспортёр стал поднимать \(n\) грузов в минуту. Найдите величину \(n\). Мощность мотора после привязывания шаров осталась прежней, плотность воздуха \(\rho\), \(\dfrac{M}{\upsilon} > \rho > \dfrac{m}{\upsilon}\). Потерями механической энергии в системе можно пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сравните мощность мотора в двух случаях: изменение потенциальной энергии груза с шаром уменьшается на потенциальную энергию вытесненного воздуха.

    Ответ

    \(n = \dfrac{M}{M + m - \rho\upsilon}\,N\).

    Решение

    Пусть \(h\) — разность высот между верхним и нижним горизонтальными участками транспортёра. За минуту \(N\) грузов поднимаются на высоту \(h\), и изменение их потенциальной энергии равно мощности мотора: \[P = MghN.\] После того как к грузам привязали шары, при подъёме одного груза его потенциальная энергия вместе с шаром увеличивается на \((M + m)gh\), но потенциальная энергия воздуха, вытесняемого шаром, уменьшается на \(\rho\upsilon gh\). Поэтому мощность мотора равна \[P = (M + m - \rho\upsilon)\,gh\,n.\] Поскольку мощность мотора не меняется, получаем \[n = \frac{M}{M + m - \rho\upsilon}\,N.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх