Работа при растяжении пружины

Работа равна изменению потенциальной энергии пружины. Начальную деформацию пружины удобно обозначить неизвестной величиной \(x\) и составить систему из двух уравнений.

Обозначим начальную деформацию пружины символом \(x\), жёсткость пружины будем считать равной единице. Тогда выполняются соотношения \[A = \frac{(b - x)^2}{2} - \frac{(a - x)^2}{2}, \qquad \frac{3A}{2} = \frac{(2b - x)^2}{2} - \frac{(2a - x)^2}{2}.\] Нужно найти величину \[Y = \frac{(3b - x)^2}{2} - \frac{(3a - x)^2}{2}.\] Перепишем два соотношения и уравнение для \(Y\) в виде \[\frac{b^2 - a^2}{2} = A + (b - a)x, \qquad 2(b^2 - a^2) = \frac{3A}{2} + 2(b - a)x, \qquad Y = \frac{9(b^2 - a^2)}{2} - 3(b - a)x.\] Обозначим \(m = \dfrac{b^2 - a^2}{2}\) и \(k = (b - a)x\). Решая систему из первых двух уравнений, находим \(m = -\dfrac{A}{4}\), \(k = -\dfrac{5A}{4}\). Отсюда \[Y = -\frac{9A}{4} + \frac{15A}{4} = 1{,}5A.\]