Монеты, падающие в воду

Найдите тепло, выделяющееся при падении одной монеты, учитывая, что монета вытесняет воду. Максимальная температура достигается, когда всё это тепло идёт на нагрев одной последней монеты.

Поскольку промежутки между монетами можно не учитывать, расстояние от верхнего края воды до верхнего края объёма, занимаемого монетами, всегда будет равно \(H\). Нагревание жидкости происходит за счёт потенциальной энергии монет. При падении одной монеты она опускается на глубину \(H\), но такой же объём воды поднимается на высоту \(H\), как бы занимая место монеты. То есть тепло, выделяемое при падении одной монеты, равно \[Q = mgH - \frac{\rho_0}{\rho}mgH = \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)mgH.\] Это тепло идёт на нагрев всего содержимого сосуда, в том числе и последней монеты. Максимальную конечную температуру \(t\) в сосуде можно найти, если предположить, что вся выделяющаяся теплота идёт на нагрев одной последней монеты: при бросании очередной монеты вся выделившаяся при её падении теплота идёт на нагревание как раз этой монеты до максимальной установившейся температуры содержимого сосуда. Значит, \[\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)mgH = cm(t - t_0) \implies t = t_0 + \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)\frac{gH}{c}.\] Количество монет \(N\), которое необходимо бросить, чтобы нагреть воду до температуры \(t_1 = \dfrac{t + t_0}{2}\), найдём из уравнения теплового баланса: \[NQ = (Ncm + c_0\rho_0 SH)(t_1 - t_0) \implies N = \frac{c_0\rho_0 SH}{cm}.\]