Кольцо в двугранном угле

Центр кольца неподвижен, поэтому сила тяжести работы не совершает. Вся кинетическая энергия вращения уходит на работу сил трения, а силы реакции стенок найдите из условий равновесия по вертикали и по горизонтали.

На кольцо действуют сила тяжести и силы трения о стенки угла. Сила тяжести работы не совершает, так как центр масс не перемещается. По теореме о кинетической энергии \[K_\text{к} - K_\text{н} = A_\text{тр}, \qquad K_\text{к} = 0,\] где \(K_\text{н}\) — начальная кинетическая энергия, \(A_\text{тр}\) — работа силы трения. Кинетическая энергия кольца массой \(m\) равна \[K_\text{н} = \frac{m\omega^2R^2}{2}.\] Работа сил трения \[A_\text{тр} = -2\pi R\,n\,\mu\,(N_1 + N_2),\] где \(n\) — число оборотов кольца до остановки, \(N_i\) — силы реакций со стороны двугранного угла. Для них выполнены соотношения \[N_1 = mg - \mu N_2, \qquad N_2 = \mu N_1,\] откуда \[N_1 = \frac{mg}{1+\mu^2}, \qquad N_2 = \frac{\mu mg}{1+\mu^2}.\] Подставляя в теорему о кинетической энергии, получим \[\frac{m\omega^2R^2}{2} = 2\pi R\,n\,\mu\,(1+\mu)\frac{mg}{1+\mu^2}.\] Окончательно \[n = \frac{\omega^2 R\,(1+\mu^2)}{4\pi g\mu\,(1+\mu)}.\]