Тепловой поток в стержнях

В установившемся режиме сумма тепловых потоков, входящих в вершину 2, равна сумме потоков, выходящих из неё. Запишите закон Фурье для стержней 1-2, 2-3 и 2-4.

В равновесном состоянии (когда температуры всех точек не меняются) тепловой поток по стержню 1-2 равен сумме тепловых потоков по стержням 2-3 и 2-4. Длины стержней: \(1\text{-}2 = l\), \(2\text{-}3 = 2l\), \(2\text{-}4 = 3l\). Поэтому из закона Фурье \[\frac{t_1 - t_2}{l} = \frac{t_2 - t_3}{2l} + \frac{t_2 - t_4}{3l},\] откуда \[6t_1 + 3t_3 + 2t_4 = 11t_2. \qquad (*)\] Аналогично, тепловой поток по стержню 4-3 (длина \(l\)) равен сумме тепловых потоков по стержням 2-4 и 1-4 (длина \(2l\)). Поэтому \[\frac{t_4 - t_3}{l} = \frac{t_2 - t_4}{3l} + \frac{t_1 - t_4}{2l},\] откуда \[3t_1 + 2t_2 + 6t_3 = 11t_4. \qquad (**)\] Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), получим \[t_2 = \frac{72\,t_1 + 45\,t_3}{117} = 61{,}5\,^\circ\text{C}, \qquad t_4 = \frac{45\,t_1 + 72\,t_3}{117} = 38{,}5\,^\circ\text{C}.\]