Студент на лестнице

Запишите условия равновесия сил в проекциях и правило моментов относительно нижнего торца лестницы. Граница скольжения достигается при равенстве силы трения и реакции стены.

Обозначим расстояние, пройденное студентом, за \(x\). Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси, обозначенные на рисунке: \[N = 2mg + mg = 3mg, \qquad R = F_{\text{тр}} = \mu N.\]

Запишем равенство моментов сил относительно точки \(A\): \[LR\cos 60^\circ = mg\,\frac{L}{2}\cos 30^\circ + 2mgx\cos 30^\circ.\] Из полученного равенства выразим величину реакции опоры стены \(R\): \[R = 2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right).\] Необходимое условие проскальзывания лестницы со студентом: \(F_{\text{тр}} < R\). Из условия равенства этих сил найдем граничное значение отношения пути, пройденного студентом, к длине лестницы: \[2mg\sqrt{3}\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{4}\right) = \mu N = 3\mu mg \;\Rightarrow\; \frac{x}{L} = 0{,}2\sqrt{3} - \frac{1}{4} \approx 9{,}6\%.\]