Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Схема из шести стержней

  1. Схема из шести стержней

    Курчатов 2021/22, 9 кл.
    4/10

    Из шести стержней одной длины, обладающих одинаковым сопротивлением \(r = 4\) Ом, собрана следующая схема (см. рисунок): три стержня соединяют контактами так, чтобы получился треугольник \(ABC\). Остальные три стержня соединены в точке \(O\), а также с вершинами \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Точки \(O\) и \(M\) подсоединены к источнику напряжения. Сопротивление единицы длины стержня считать постоянным, сопротивлением контактов пренебречь. Точка \(M\) — середина стержня \(BC\). Найдите сопротивление цепи между точками \(O\) и \(M\). Ответ дайте в Ом и округлите до десятых.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выделите участки цепи, соединённые параллельно, и заменяйте их эквивалентными сопротивлениями. Учтите симметрию относительно \(A\).

    Ответ

    \(R = 2{,}5\) Ом.

    Решение

    Изобразим эквивалентную схему, после чего посчитаем сопротивление отдельных участков цепи.

    Рисунок

    Обозначим сопротивление участка цепи между точками \(O\) и \(B\) (или \(C\)) как \(R_1\), сопротивление участка цепи между точками \(M\) и \(B\) (или \(C\)) как \(R_2\). Вычислим эти величины: \[\frac{1}{R_1} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r + r/2} + \frac{1}{r} \;\Rightarrow\; R_1 = \frac{3}{8}\,r.\] Аналогично, \[R_2 = \frac{r}{4}.\] Тогда общее сопротивление цепи: \[R = R_1 + R_2 = \frac{5}{8}\,r = 2{,}5~\text{Ом}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх