Обруч с шариком на пружинах

Направим координатную ось \(X\) влево, а координатную ось \(Y\) вверх (рис. 1.124). Через малое время \(\Delta t\) после того, как систему предоставили самой себе, расстояние \(x\) практически не успевает измениться, проекции скоростей центра обруча и шарика на ось \(X\) равны \(V\) и \(v\), а проекции их ускорений на эту же ось равны \(A = \Delta V/\Delta t\) и \(a = \Delta v/\Delta t\). Энергия рассматриваемой системы через указанный промежуток времени складывается из кинетических энергий поступательного \(W_{\text{пост}} = \dfrac{MV^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2}\) и вращательного \(U_{\text{вр}} = \dfrac{MV^2}{2} + \dfrac{m(V/R)^2x^2}{2}\) движений обруча и шарика, потенциальной энергии пружин \(U_{\text{пр}} = 2\cdot\dfrac{kx^2}{2}\) и шарика в поле силы тяжести \(U_{\text{тяж}} = mgy\), где \(y\) — высота шарика над поверхностью. Изменения кинетической и потенциальной энергий системы за время \(\Delta t\) равны, соответственно,

\[\dfrac{\Delta W}{\Delta t} = \dfrac{\Delta W_{\text{пост}}}{\Delta t} + \dfrac{\Delta W_{\text{вр}}}{\Delta t} =\] \[= MV\dfrac{\Delta V}{\Delta t} + mv\dfrac{\Delta v}{\Delta t} + MV\dfrac{\Delta V}{\Delta t} + m\left(\dfrac{x}{R}\right)^2V\dfrac{\Delta V}{\Delta t} =\] \[= AV\left(2M + m\left(\dfrac{x}{R}\right)^2\right) + mav;\] \[\dfrac{\Delta U}{\Delta t} = \dfrac{\Delta U_{\text{пр}}}{\Delta t} + \dfrac{\Delta U_{\text{тяж}}}{\Delta t} = 2kx\dfrac{\Delta x}{\Delta t} + mg\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = 2kx(v - V) - mgx\dfrac{V}{R},\] где \(\Delta x/\Delta t = v - V\) и учтено, что \(\Delta y/\Delta t < 0\). В соответствии со вторым законом Ньютона, \(ma = -2kx\) (сразу после того, как систему предоставили самой себе, ускорение шарика направлено вправо — см. рисунок). С учётом этого из закона сохранения механической энергии \(\Delta W + \Delta U = 0\) получаем, что \[\dfrac{\Delta W}{\Delta t} + \dfrac{\Delta U}{\Delta t} = AV\left(2M + m\left(\dfrac{x}{R}\right)^2\right) - 2kxV - mgx\dfrac{V}{R} = 0.\] Отсюда искомое ускорение центра обруча в начальный момент времени \[A = xR\,\dfrac{mg + 2kR}{2MR^2 + mx^2}.\]