Пружина на весах

Если поднимать верхний виток, то каждый виток над ним растягивается на величину, пропорциональную числу витков выше него. Сравните, как растёт \(\Delta P\) с \(\Delta x\), и подумайте, как связать результат с жёсткостью одного витка.

Пусть \(m\) — масса одного витка, \(k\) — его жёсткость. Изменение высоты верхнего витка \(\Delta x_1 = mg(n - 1/2)/k\), где \(n\) — число витков с ненулевой деформацией; \(i\)-го сверху витка \(\Delta x_i = mg(n - i)/k\). Суммарное изменение длины пружины \[\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i = \frac{mg}{k}\sum_{i=1}^{n}(n-i) = \frac{mgn^2}{2k}.\] Изменение показаний весов \(|\Delta P| = mgn\), поэтому \[(\Delta P)^2 = 2kmg\,\Delta x \quad\text{или}\quad |\Delta P| = \sqrt{2kmg}\,\sqrt{\Delta x}.\] Графики \((\Delta P)^2(\Delta x)\) и \(|\Delta P|(\sqrt{\Delta x})\) получаются линейными, эксперимент подтверждает теорию. Масса одного витка \(m = M/n\), где \(M = 20{,}37\) г — масса всей пружины, \(n = 37\) — число витков. Из углового коэффициента \(\beta_1 = (\Delta P)^2/\Delta x\) находим \(k = \beta_1/(2mg)\); погрешность \(k\) оценивается по относительным погрешностям \(\beta_1\) и \(m\). Получаем \(k = (34{,}2 \pm 1{,}8)\) Н/м.

Момент сил оценивают так: один виток закрепляют скотчем на конце деревянной линейки 40 см, пружину кладут боковой стороной на стол, свободный конец линейки лежит на весах. Закручивают свободный конец пружины относительно закреплённого. Момент сил, создаваемый пружиной, уравновешивается моментом реакции весов: \(M = mgl\), где \(m = 2{,}51\) г — показания весов, \(l = 41\) см — длина линейки. При повороте на один оборот \(M = 1{,}0\cdot 10^{-2}\) Н\(\cdot\)м. Так как это оценка, погрешность не вычисляется.