Задачи › Сила трения: покой и проскальзывание

Формула Эйлера

  1. Формула Эйлера

    ВсОШ 2012/13, 11 кл.
    6/10

    Используя предложенное оборудование, определите для разных углов \(\varphi\) отношение натяжения нити \(T\) справа от скрепки к натяжению \(T_0\) слева от неё (рис. 3). Обозначьте это отношение символом \(y\) (\(y = T/T_0\)). Проведите серию измерений и постройте график зависимости \(y(\varphi)\), выразив \(\varphi\) в радианах. Подумайте, в каких координатах график будет наиболее удобен для определения коэффициента трения \(\mu\) между нитью и скрепкой. Найдите \(\mu\). Оцените погрешность измерения.

    Рисунок

    Теоретическая подсказка: при «охвате» скрепки (круглой проволоки) нитью на угол \(\varphi\) силы натяжения нити по разные стороны скрепки отличаются в \(e^{\mu\varphi}\) раз (формула Эйлера), где \(\mu\) — коэффициент трения.

    Экспериментальная подсказка: К краю стола прикрепите лист формата А3 так, чтобы он принял вертикальное положение. Груз можно привязать к скрепке с помощью другой нити. На краю стола вблизи углов листа прикрепите скотчем выступающие за край стола большие скрепки (или толстые куски проволоки или трубки, например, для коктейлей). На них крепится нить такой длины, чтобы скрепка, висящая на ней, оставалась «в пределах листа». Нить впоследствии можно укорачивать, наматывая её на скрепки (трубочки/проволочки). Для данной длины нити существует два устойчивых положения подвижной скрепки (слева и справа). Измерения для этих положений можно усреднить. Возможны и другие способы проведения эксперимента. Например, можно прикрепить нить к одной скрепке, а положение другого конца нити регулировать рукой.

    Оборудование. Нить длиной \(1{,}5\)–\(2\) м, одна маленькая скрепка, две большие скрепки или толстые куски проволоки или трубки, например, для коктейлей, шоколадка «Алёнка» массой \(15\) г (грузик), скотч и ножницы (по требованию), транспортир с делениями в 1°, лист А3, миллиметровая бумага для построения графиков.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Удобнее всего логарифмировать \(y\): тогда \(\ln y\) будет линейной функцией \(\varphi\), а наклон прямой даёт \(\mu\).

    Ответ

    \(\mu = 0{,}22 \pm 0{,}01\).

    Решение

    Из условия равновесия (равенства проекций сил на горизонтальную ось \(x\)) получим: \[T_1 \cos\alpha_1 = T_2 \cos\alpha_2.\] И, используя формулу Эйлера \(T_1 = T_2 e^{\mu\theta}\), объединив эти формулы, получим связь коэффициента трения и углов (\(\theta\) в решении — угол охвата \(\varphi\)): \[\mu = \ln\dfrac{\cos\alpha_1}{\cos\alpha_2} \cdot \theta^{-1}.\]

    Экспериментальные данные:

    Рисунок

    Получившееся значение \(\mu = 0{,}22 \pm 0{,}01\).

    Выполним контрольный эксперимент: натянем нить так, чтобы она под весом скрепки с грузом практически не провисала. Тогда \(\mu \approx \tan\alpha\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх