Поезд под загрузкой

Пусть \(\mu\) — масса угля, которая грузится на поезд за единицу времени. Тогда масса поезда со временем возрастает по закону \(M = m + \mu t\). Из закона изменения импульса, записанного для поезда, имеем: \(\Delta\left((m + \mu t)v\right) = F\Delta t\), где \(F\) — искомая сила тяги локомотива. Отсюда получаем: \((m + \mu t)\Delta v + \mu v\Delta t = F\Delta t\), и \[(m + \mu t)\dfrac{\Delta v}{\Delta t} + \mu v = F.\qquad(1)\] Так как \(v = \dfrac{v_0t}{t + t_0}\), то, дифференцируя, получаем: \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_0t_0}{(t + t_0)^2}\). Подставляя в (1) выражения для \(v\) и \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\), находим: \[F = (m + \mu t)\dfrac{v_0t_0}{(t + t_0)^2} + \dfrac{\mu v_0t}{t + t_0}.\] Так как в условии сказано, что сила тяги локомотива постоянна, то последнее выражение должно быть справедливо для любого момента времени \(t\), в том числе и для \(t = 0\). Поэтому, полагая \(t = 0\), получаем: \[F = \dfrac{mv_0}{t_0}.\] Существует и другой путь решения. Из (1) следует: \((m + \mu t)\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = F - \mu v\). Ясно, что установившаяся скорость поезда (при \(t \to \infty\)) соответствует \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = 0\). С учётом этого получаем, что \[v_{t\to\infty} = \left(\dfrac{v_0t}{t_0 + t}\right)_{t\to\infty} = v_0 = \dfrac{F}{\mu},\qquad(2)\] и, следовательно, \(F = \mu v_0\). С другой стороны, с учётом (2) ускорение поезда в начальный момент времени равно: \[\left(\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{t=0} = \dfrac{F}{m} = \left(\dfrac{\Delta}{\Delta t}\left(\dfrac{v_0t}{t_0 + t}\right)\right)_{t=0} = \dfrac{v_0}{t_0} = \dfrac{F}{\mu t_0},\] откуда \(\mu = m/t_0\). Подставляя это выражение для \(\mu\) в (2), получаем прежний ответ.