Колебания ртути, воды и спирта в U-трубке

Обозначим массы ртути, воды и спирта через \(m_{\text{р}}\), \(m_{\text{в}}\) и \(m_{\text{с}}\) соответственно. Пусть \(S\) — площадь U-образной трубки, а \(x\) — смещение ртути от положения равновесия. Тогда уравнение колебаний ртути в трубке будет иметь вид: \(m_{\text{р}}a = -2\rho_1gSx\), откуда для периода колебаний ртути получаем: \[T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_{\text{р}}}{2\rho_1gS}}.\] Если теперь записать уравнения колебаний для ртути и воды, а затем для ртути, воды и спирта, то получатся аналогичные выражения для периодов колебаний \(T_2\) и \(T_3\), в которых под корнем в числителе будет стоять суммарная масса жидкостей, а знаменатель не изменится. Неизменность знаменателя связана с тем, что вода и спирт не смешиваются со ртутью и не перетекают в другое колено, а значит, возвращающая сила, возникающая при смещении жидкостей из положения равновесия, обусловлена только перетеканием ртути из одного колена в другое. В итоге: \[T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_{\text{р}} + m_{\text{в}}}{2\rho_1gS}},\qquad T_3 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_{\text{р}} + m_{\text{в}} + m_{\text{с}}}{2\rho_1gS}}.\] Из написанных выражений для периодов находим: \[\dfrac{T_2^2}{T_1^2} = \dfrac{m_{\text{р}} + m_{\text{в}}}{m_{\text{р}}},\qquad \dfrac{T_3^2}{T_2^2} = \dfrac{m_{\text{р}} + m_{\text{в}} + m_{\text{с}}}{m_{\text{р}} + m_{\text{в}}}.\] Вычитая из правой и левой частей последних уравнений единицу, получим: \[\dfrac{T_2^2 - T_1^2}{T_1^2} = \dfrac{m_{\text{в}}}{m_{\text{р}}},\qquad \dfrac{T_3^2 - T_2^2}{T_2^2} = \dfrac{m_{\text{с}}}{m_{\text{р}} + m_{\text{в}}}.\] Далее, комбинируя последние четыре уравнения, найдём: \[\dfrac{m_{\text{р}} + m_{\text{в}}}{T_2^2} = \dfrac{m_{\text{с}}}{T_3^2 - T_2^2} = \dfrac{m_{\text{р}}}{T_1^2} = \dfrac{m_{\text{в}}}{T_2^2 - T_1^2}.\] Отсюда \[m_{\text{р}}/m_{\text{в}}/m_{\text{с}} = T_1^2/(T_2^2 - T_1^2)/(T_3^2 - T_2^2).\]