Расстояние до Луны
4/10Определите расстояние \(\ell\) между Луной и Землёй, считая, что они вращаются вокруг общего центра с периодом обращения \(T = 27{,}2\) суток.
Считать: систему Луна–Земля изолированной, расстояние между ними остаётся величиной постоянной, космические объекты считать материальными точками. Гравитационная постоянная \(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\) Н·м\(^2\)/кг\(^2\). Масса Земли \(M = 5{,}98\cdot10^{24}\) кг, масса Луны \(m = 7{,}3\cdot10^{22}\) кг.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаГде находится центр масс системы Луна–Земля? Гравитационная сила между телами должна уравновешиваться центробежной силой для каждого тела.
Ответ\(\ell = 3{,}84\cdot10^{8}\) м.
РешениеПоместим начало координат в центре Земли; тогда координата центра масс двух тел, вокруг которого они вращаются: \[r_c = \frac{m}{m+M}\,\ell.\] Гравитационная сила между телами уравновешивается центробежной силой. Для Земли \[M\omega^2 r_c = G\frac{mM}{\ell^2},\] для Луны \[m\omega^2(\ell - r_c) = G\frac{mM}{\ell^2}.\] Подставив (9) в (10), получаем \[\ell = \left(\frac{G(m+M)}{\omega^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{G(m+M)T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3},\] откуда \(\ell = 3{,}84\cdot10^{8}\) м.
Похожие задачи
- Планета Плюк (C2) ЕГЭ 2009, 11 кл.
- Масса нейтронной звезды «Надежда энергетики» 2018/19, 10 кл.
- Масса нейтронной звезды «Надежда энергетики» 2018/19, 11 кл.
- Спутники планеты X «Шаг в будущее» 2019/20, 10 кл.
- Тройные звёзды МОШ 2022/23, 9 кл.
- Работа силы тяжести при взлёте ракеты Физтех 2024/25, 11 кл.