Давление на вмятину

Мысленно заполните вмятину водой и закройте её крышкой в плоскости дна: тогда вода в вмятине в равновесии, и искомая сила находится из условия равновесия этого объёма.

\(F_g \approx 25\text{ Н}\).

9-2. Для решения задачи воспользуемся приемом дополнения. Заполним “вмятину” водой и закроем ее снизу крышкой, лежащей в плоскости остального дна. Ясно, что система будет в равновесии. Какие силы действуют на полусферу? Во-первых, сила тяжести \(m\vec{g}\), во-вторых, сила реакции дна \(\vec{N}\), равная по модулю силе давления всей жидкости на основании полусфер, в-третьих, это искомая сила \(\vec{F}_g\) давления жидкости на “вмятину”. Имеем:

\[\vec{F}_g + m\vec{g} + \vec{N} = 0.\tag{1}\]

По правилу параллелограмма сила \(\vec{F}_g\) по модулю равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(m\vec{g}\) и \(\vec{N}\). По теореме косинусов

\[F_g = \sqrt{((mg)^2 + N^2 - 2mgN\cos\alpha)}.\tag{2}\]

Сила тяжести находится просто:

\[mg = \rho Vg = \rho \frac{2}{3} \pi r^3 g.\tag{3}\]

Для вычисления силы реакции опоры \(N\) надо использовать среднее значение давления на круглое основание данного объема.

\[N = \pi r^2 \rho g (h + r).\tag{4}\]

Подставляя эти выражения в формулу (2), получим искомый ответ \(F_g \approx 25\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.