Электрическая звезда

Внутреннее сопротивление найдите по падению напряжения при подключении известного резистора. Звезду удобно сводить к параллельным и последовательным участкам, учитывая симметрию: ток делится поровну между двумя половинами.

1. Напряжение источника при максимальной установке \(E=5{,}0000\) В. Подключаем резистор \(R_0=1\) Ом: напряжение \(V_1=4{,}7393\) В. Ток \(I_1=E/(r+R_0)\), поэтому \(V_1 = E/(r/R_0+1)\), откуда \[r = R_0\left(\frac{E}{V_1}-1\right) = 1\cdot\left(\frac{5}{4{,}7393}-1\right)\text{~Ом} = 0{,}05501~\text{Ом}.\]

2. Подключаем звезду к источнику. Чёрные соединительные провода не влияют на результат: при добавлении четырёх чёрных проводов напряжение \(V_2=4{,}9470\) В не менялось. Ток \(I_2=E/(r+R)\), \(V_2=E/(r/R+1)\), откуда \[R = \frac{r}{E/V_2-1} = \frac{0{,}05501}{5/4{,}9470-1}\text{~Ом} = 5{,}1346~\text{Ом}.\]

3. Ток \(I_2\) делится в вершине звезды на две равные половины: \[I_{\max} = \frac{I_2}{2} = \frac{E}{2(r+R)} = 0{,}4817~\text{А}.\]

4. КПД \(=V_3/E\), где \(V_3\) — напряжение на выходе источника при нагрузке. Из сравнения вариантов: звезда последовательно с резистором \(1\) Ом даёт \(V_4=4{,}9555\) В, параллельно — \(V_5=4{,}6917\) В; максимум у первого: \[K = \frac{V_4}{E}\cdot 100\% = \frac{4{,}9555}{5}\cdot 100\% = 99{,}11\%.\]

5. Звезда симметрична, ток через горизонтальный провод в середине не идёт; рассматриваем правую половину, ток \(I_{\max}\). Длины внутренних проводников: \(L_0=\sqrt{5}L\), \(L_3=\sqrt{10}L\) и т. д.; \(L\) — расстояние между соседними гнёздами. Сопротивления проводников: \(r_3=3{,}1622R_1\), \(r_0=2{,}2361R_1\), \(r_{12}=5{,}8284R_1\), \(r_{34}=6{,}7678R_1\). Минимальный ненулевой ток идёт через наибольшее сопротивление, здесь через участок \(L_3+L_4\). Параллельно \(r_0\) и \(r_{34}\) дают \(r_{034}=1{,}68077R_1\), и \[I_{\min} = I_{\max}\frac{r_0}{r_0+r_{34}} = \frac{I_{\max}}{1+r_{34}/r_0} = 0{,}1196~\text{А}.\]

6. Для параллельной ветки \(r_{012}=1{,}61608R_1\). Сопротивление половины звезды вдвое больше сопротивления \(R\) всей звезды: \[2R = r_3 + r_{012} + r_{034} = 6{,}459\,R_1,\] откуда \[R_1 = \frac{2R}{6{,}459} = \frac{2\cdot 5{,}1346}{6{,}459}\text{~Ом} = 1{,}590~\text{Ом}.\]