Как измеряли Вселенную

Радиус Земли – из геометрии касательной к сфере (теорема Пифагора при малой высоте). Массу Земли и среднюю плотность – из закона всемирного тяготения для \(g\). Расстояние до Луны – из третьего закона Кеплера с учетом синодического месяца, масса Солнца – из движения Земли и радиолокационной дальности.

Часть 1. Радиус Земли.

1.1 Элементарные построения условия видимости приводят к уравнению, следующему из теоремы Пифагора \[\left(\frac{L}{2}\right)^2=(R+h)^2-R^2\approx 2Rh.\qquad (1)\] Мы пренебрегли малым слагаемым \(h^2\). Из этой формулы следует, что радиус Земли равен \[R=\frac{L^2}{8h}.\qquad (2)\] Численный подсчет дает результат \[R\approx 6{,}3\cdot10^6\ \text{м}.\qquad (3)\]

Часть 2. Масса Земли.

2.1 Из закона всемирного тяготения можно записать формулу для ускорения свободного падения \[g_0=G\frac{M}{R^2}.\qquad (4)\] Из этой формулы находим массу Земли \(M=\dfrac{g_0R^2}{G}=5{,}9\cdot10^{24}\) кг. Средняя плотность Земли равна \[\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3g_0}{4\pi RG}=5{,}55\cdot10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\qquad (5)\]

Часть 3. Расстояние до Луны.

3.1 Расстояние от Земли до Луны можно найти \(r\), рассматривая движение Луны с точки зрения законов динамики (2 закон Ньютона и закон всемирного тяготения): \[m\omega^2r=G\frac{mM}{r^2}.\qquad (6)\] Где \(m\) – масса Луны, \(M\) – масса Земли, \(\omega=\dfrac{2\pi}{T_Л}\) – угловая скорость движения Луны вокруг Земли. Для упрощения расчетов можно использовать формулу (4): \[\left(\frac{2\pi}{T_Л}\right)^2 r=\frac{g_0R^2}{r^2}.\qquad (7)\] Из этой формулы находим радиус лунной орбиты \[r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{\left(\frac{2\pi}{T_Л}\right)^2}}.\qquad (8)\] Теперь необходимо учесть, что время между двумя новолуниями не равно периоду обращения Луны вокруг Земли. Обозначим \(T_з\) период обращения Земли вокруг Солнца (1 год). На рисунке показано положение Солнца, Земли и Луны в два последовательных новолуния. Очевидно, что время между полнолуниями (которые легче наблюдать) равно времени между новолуниями. За время между новолуниями \(\tau\) Луна по своей орбите повернется на угол \(\left(2\pi+\dfrac{2\pi}{T_з}\tau\right)\), поэтому можно записать: \[\tau=\frac{\left(2\pi+\frac{2\pi}{T_з}\tau\right)}{\omega_Л}=\frac{\left(2\pi+\frac{2\pi}{T_з}\tau\right)}{2\pi}T_Л.\qquad (9)\] Из этой формулы следует, что период обращения Луны описывается формулой: \[\frac{1}{T_Л}=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{T_з}.\qquad (10)\] Подставляя это выражение в формулу (8), получим \[r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{\left(2\pi\left(\frac{1}{\tau}+\frac{1}{T_з}\right)\right)^2}}.\qquad (11)\] Для численных расчетов необходимо подставить все значения в системе СИ: \[r=\sqrt[3]{\frac{9{,}81\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\,(6{,}5\cdot10^6\ \text{м})^2}{\left(\dfrac{2\pi}{24\cdot3600\ \text{с}}\left(\dfrac{1}{29{,}5}+\dfrac{1}{365{,}25}\right)\right)^2}}=3{,}9\cdot10^8\ \text{м}.\qquad (12)\]

Часть 4. Масса Солнца.

4.1 Запишем второй закон Ньютона (в совокупности с законом всемирного тяготения) для движения Земли \[m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R=G\frac{mM}{R^2}.\qquad (13)\] Где \(m\) – масса Земли, \(M\) – масса Солнца, \(R\) – радиус Земной орбиты, \(T=1\) год – период обращения Земли вокруг Солнца. Из этого уравнения выразим массу Солнца \[M=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\frac{R^3}{G}.\qquad (14)\] Радиус орбиты найдем из данных радиолокационных измерений \[R=c\,\frac{\tau}{2}.\qquad (15)\] Окончательно для массы Солнца получим \[M=\frac{1}{G}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\left(\frac{c\tau}{2}\right)^3.\qquad (16)\] Подставим численные значения и вычислим \[M=\frac{1}{6{,}67\cdot10^{-11}}\left(\frac{2\pi}{365{,}25\cdot24\cdot3600}\right)^2\left(\frac{3\cdot10^8\cdot16{,}7\cdot60}{2}\right)^3=2{,}0\cdot10^{30}\ \text{кг}.\]