Две одинаковые шестерёнки вращаются в горизонтальной плоскости вокруг закреплённых осей. Муравей хочет проползти через шестерёнки от точки \(A\) до точки \(B\). Оказалось, он не может сделать это за время, меньшее, чем время, за которое шестерёнки сделают полоборота. С какой скоростью умеет муравей ползать по шестерёнкам? Скорость края шестерёнки относительно земли известна и равна \(v\).

\(u = \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,v \approx 0{,}9\,v\).

Муравей на карусели — Санкт-Петербургская 2024/25, 8 кл., задача 2

Муравей на карусели
Санкт-Петербургская 2024/25, 8 кл.
5/10
Две одинаковые шестерёнки вращаются в горизонтальной плоскости вокруг закреплённых осей. Муравей хочет проползти через шестерёнки от точки \(A\) до точки \(B\). Оказалось, он не может сделать это за время, меньшее, чем время, за которое шестерёнки сделают полоборота. С какой скоростью умеет муравей ползать по шестерёнкам? Скорость края шестерёнки относительно земли известна и равна \(v\).

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Муравью выгодно перейти на вторую шестерёнку в точке касания. Сравните время поворота шестерёнки на четверть оборота с путём, который должен проползти муравей по хорде.
Ответ
\(u = \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,v \approx 0{,}9\,v\).
Решение
Муравей должен перейти с одной шестерёнки на другую в точке их соприкосновения \(C\). Если за всё время движения муравья от \(A\) до \(B\) шестерёнки повернулись на полоборота, то в точке касания муравей оказывается, когда прошла половина этого времени, а шестерёнки повернулись на четверть оборота. Значит, за это время край шестерёнки проходит дугу \(\pi R/2\) со скоростью \(v\), и время равно \(t = \pi R/(2v)\). За это же время муравей проползает путь по хорде \(AC = \sqrt{2}\,R\). Отсюда скорость муравья \(u = \sqrt{2}\,R / t = \dfrac{2\sqrt{2}}{\pi}\,v\).
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Муравей на карусели

Муравей на карусели

Похожие задачи