Кот учёный

Рассмотрите положение кота у самого края доски: доска вот-вот начнёт поворачиваться вокруг ребра ящика. Выразите допустимое положение кота через положение центра масс доски.

Пусть кот дошёл по доске максимально далеко вправо. Тогда доска вот-вот начнёт поворачиваться вокруг правого края ящика, и этот край — точка опоры. Если центр масс доски находится на расстоянии \(x\) от правого края ящика, то кот может находиться не дальше, чем на расстоянии \(xM/m\) от него (условие равенства моментов). Аналогично для движения влево: если центр масс на расстоянии \(a - x\) от левого края, кот проходит не больше \((a-x)M/m\) от него. Суммарно кот проходит по доске расстояние \(\dfrac{(a-x)M}{m} + a + \dfrac{xM}{m} = \dfrac{a(M+m)}{m}\), которое не зависит от положения доски. Этим путём он может пройти по всей доске только тогда, когда её длина в точности равна \(a(M+m)/m\); при большей длине доска окажется недостаточно опёртой, при меньшей кот сможет пройти по всей доске и при сдвиге.