Задачи › Масса и плотность

Губка Менгера

  1. Губка Менгера

    Санкт-Петербургская 2024/25, 8 кл.
    5/10

    Восьмиклассник Павел увлекается оригами. В одной из техник оригами большие фигуры собираются из одинаковых маленьких модулей. Каждый модуль имеет форму квадратика с двумя уголками-клапанами для соединения с такими же модулями (см. рисунок). Павел собрал из таких модулей модель фрактала, который называется губка Менгера. Получившаяся фигура показана на рисунке внизу, также на рисунке тёмным цветом выделено расположение одного модуля в модели. Известно, что, если в любом месте проткнуть такую модель булавкой, она пройдёт через \(8\) слоёв бумаги. Также известно, что модули делаются из квадратных листочков бумаги размером \(9 \times 9\) см.

    Рисунок

    Губка Менгера строится по принципу, схематически показанному на рисунке. На первом шаге большой кубик делится на равные кубики \(3 \times 3 \times 3\), подобно кубику Рубика. Затем центральный кубик и кубики в центре каждой из шести граней удаляют. На каждом следующем шаге все маленькие кубики делят на кубики в \(3\) раза меньшего размера и удаляют кубики в центре и в центрах граней.

    Рисунок

    1. Определите длину стороны получившейся модели фрактала.

    2. Определите массу получившейся модели, если модули сделаны из бумаги плотностью \(80\) г/м\(^2\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Булавка пробивает \(8\) слоёв — значит, на её пути \(8\) квадратиков одного размера. Из этого найдите размер маленького квадратика, а затем подсчитайте, сколько модулей в модели.

    Ответ

    1) \(a \approx 28{,}6\) см;  2) \(m \approx 686\) г.

    Решение

    Если фигура в каждом месте состоит из \(8\) слоёв бумаги, то площадь одного самого маленького квадратика в \(8\) раз меньше площади листочка \(9 \times 9\) см, а его сторона в \(\sqrt{8}\) раз меньше. Сторона большого куба в \(9\) раз больше стороны маленького квадратика: \(a = 9 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{8}} \approx 28{,}6\) см.

    Чтобы найти массу, посчитаем число модулей. На каждом шаге куб уменьшается в \(3\) раза по всем направлениям, и из \(20\) таких кубов собирается фигура следующего шага. В фигуре первого шага впереди видно \(8\) квадратов передней грани и ещё \(4\) квадрата на заднем ряду кубиков; во втором шаге по аналогии \(8 + 4\) квадрата, каждый из которых содержит \(8\) мелких квадратиков. Всего на видимых гранях \(12 \cdot 8 + 20 \cdot 4 = 176\) квадратиков, которые смотрят вперёд; с учётом симметрии (умножение на \(6\)) получаем \(176 \cdot 6 = 1056\) модулей. Площадь \(1056\) листочков \(9 \times 9\) см составляет около \(8{,}55\) м\(^2\), и масса при плотности \(80\) г/м\(^2\) равна \(\approx 686\) г (по официальному решению).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх