Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Подогрев пластилина

  1. Подогрев пластилина

    Санкт-Петербургская 2024/25, 8 кл.
    7/10

    Экспериментатор Глюк решил изучить свойства остывающих тел. Для этого он слепил два шара из пластилина, диаметры которых отличаются в \(1{,}5\) раза, и вставил в них одинаковые маленькие нагреватели. Через большое время нагреватели хорошо прогрели оба шара, Глюк отключил нагреватели и начал фиксировать падение температуры обоих шаров. На графике приведена зависимость температуры маленького шара от времени. Используя данные графика, определите:

    1. температуру, до которой нагрелся большой шар;

    2. время \(t_{28}\) остывания большого шара до температуры \(28\) °C;

    3. температуру большого шара через время \(2t_{28}\) после выключения нагревателя.

    Время на графике отсчитывается от момента, когда Глюк выключил нагреватель. Температура в комнате равна \(20\) °C. Также известно, что мощность теплообмена пропорциональна площади поверхности и разности температур тела и окружающей среды.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Когда тело хорошо прогрелось, мощность нагревателя равна мощности теплопотерь, которые пропорциональны площади, а тепловая ёмкость — объёму. Сравните скорости остывания шаров.

    Ответ

    1) \(T \approx 48\) °C;  2) \(t_{28} \approx 750\) с;  3) \(T \approx 22{,}3\) °C.

    Решение

    В установившемся режиме мощность нагревателя равна потерям: \(P = \alpha R^2 (T - T_0)\). Нагреватели одинаковые, поэтому \(\alpha R_1^2 (T_1 - T_0) = \alpha R_2^2 (T_2 - T_0)\) при \(R_2 = 1{,}5\,R_1\). По графику \(T_1 \approx 83\) °C, откуда \(T_2 - 20 = \dfrac{63}{2{,}25} = 28\), то есть \(T_2 = 48\) °C.

    Масса шара пропорциональна кубу радиуса, потери — квадрату, поэтому большой шар остывает в \(1{,}5\) раза медленнее. По графику маленький шар остывает от \(48\) °C до \(28\) °C примерно за \(500\) с, значит \(t_{28} = 1{,}5 \cdot 500 = 750\) с.

    Из уравнения теплового баланса скорость изменения разности температур пропорциональна самой разности. За время \(t_{28}\) разность температур большого шара уменьшается с \(28\) до \(8\) °C, то есть в \(8/28\) раза. За следующий такой же промежуток она уменьшается ещё в \(8/28\) раза, и при \(2t_{28}\) разность равна \(28 \cdot (8/28)^2 \approx 2{,}3\) °C. Итак, \(T \approx 20 + 2{,}3 \approx 22{,}3\) °C.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх