Терморезистор

Подсказка

Логарифм сопротивления терморезистора линеен по \(1/T\) — наклон даёт энергию активации; теплоёмкость цилиндра находят из баланса теплоты с поправкой на теплоотдачу воды в окружающую среду по линейному закону \(P=At+B\).

Ответ

1.3) \(\Delta E\approx 0{,}44\pm0{,}04\) эВ (\(a=\Delta E/2k\approx 2{,}55\cdot10^3\) К); 2.2) \(A\approx0{,}73\) Вт/К, \(B\approx-27\) Вт; 2.6) теплоёмкость цилиндра \(C\approx 55\) Дж/К (по скорости остывания; \(c_{\text{Al}}\approx0{,}92\) Дж/(г\(\cdot\)К)).

Решение

Часть 1. Градуировка терморезистора.

1.1 Результаты измерений зависимости сопротивления терморезистора от температуры приведены в таблице 1. График полученной зависимости показан на рисунке

Таблица 1. Зависимость сопротивления от температуры.

1.2 Для доказательства применимости приведенной формулы и определения энергии активации полученную зависимость \(R(t)\) следует привести к линейному виду. Для этого прологарифмируем приведенную формулу (записанную для сопротивления)

\[R = R_{0} \exp \left( \frac{\Delta E}{2kT} \right) \quad \Rightarrow \quad \ln R = \ln R_{0} + \frac{\Delta E}{2kT} \, .\tag{1}\]

Из этого выражения следует, что зависимость логарифма сопротивления \(y = \ln R\) от величины обратной абсолютной температуре \(x = \frac{1}{T}\) линейна

\[y = ax + b \, ,\tag{2}\]

Причем параметры этой зависимости определяются формулами

\[a = \frac{\Delta E}{2k} \, , \quad b = \ln R_{0} \, .\tag{3}\]

В Таблице 1 приведены рассчитанные значения логарифма сопротивления и обратной абсолютной температуры. Также на графике показан график полученной зависимости. Линейность графика доказывает применимость приведенной формулы. Параметры линейной зависимости предпочтительнее рассчитывать по методу наименьших квадратов. Расчет приводит к следующим значениям\(^{1}\)

\[\begin{aligned} a &= (2,55 \pm 0,2) \cdot 10^{3} \, K^{-1} \\ b &= (0,70 \pm 0,07) \, \text{усл.ед.} \end{aligned}\tag{4}\]

Используя выражение для параметра \(a\), легко найти энергию активации в джоулях:

\[\Delta E = 2ka\]

в электрон-вольтах:

\[\Delta E = \frac{2k}{e} a\tag{5}\]

Численное значение этой величины

\[\Delta E = \frac{2k}{e} a = \frac{2 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \cdot 2{,}55 \cdot 10^{3} = 0{,}44 \, \text{эВ} \, .\tag{6}\]

С погрешностью

\[\delta(\Delta E) = \Delta E \frac{\Delta a}{a} = 0{,}04 \, \text{эВ} \, .\tag{7}\]

Часть 2. Измерение теплоемкости.

2.1 Результаты измерений зависимости температуры воды от времени приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Остывание воды.

\(^{1}\) Допустимо определять параметр \(a\) по наклону графика. Значение параметра \(b\) зависит от того в каких единицах (Ом или кОм) измерены сопротивления, кроме того, для дальнейших расчетов от не нужен, поэтому его можно не рассчитывать.

2.2 Для расчета мощности теплоотдачи следует использовать формулу

\[P = \frac{\delta Q}{\Delta \tau} = c m \frac{\Delta t^{\circ}}{\Delta \tau},\tag{8}\]

где \(c = 4{,}2 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}}\) — удельная теплоемкость воды, \(m = 80\,\text{г}\) — масса воды в сосуде, \(\Delta t^{\circ}\) — изменение температуры воды, \(\Delta \tau\) — время, в течение которого это изменение произошло. В качестве температуры, для которой рассчитана данная мощность, предпочтительнее использовать среднее значение температуры \(t_{\text{ср.}}\) на рассматриваемом интервале. В Таблице 2 также приведены результаты этих расчетов. Ниже показаны графики зависимости температуры воды от времени (кривая 1) и мощности теплоотдачи от температуры.

Параметры зависимости мощности теплоотдачи от температуры \(P = A t + B\) также могут быть рассчитана по МНК (или графически). Численные значения этих параметров равны

\[A = 0{,}73 \frac{\text{Вт}}{\text{К}}, \quad B = -27\,\text{Вт}.\tag{9}\]

2.3 Зависимость температуры воды \((t, {}^{\circ}\text{C})\) от времени \((\tau, \text{с})\) при остывании с опущенным цилиндром представлена в Таблице 3. График данной зависимости показан на рисунке (кривая 2).

Таблица 3. Остывание цилиндра.

2.4 Мощность теплоотдачи в каждом температурном диапазоне рассчитана по значениям параметров (9) линейной зависимости \(P = A t + B\). Количество теплоты, отданное водой в каждом температурном интервале, рассчитано по формуле

\[\delta Q_0 = c m \Delta t^{\circ}.\tag{10}\]

В данном случае \(m=60\,\text{г}\), а \(\Delta t=5^\circ C\) для всех интервалов, поэтому эта величина постоянна для всех интервалов. Количество теплоты, отданное в окружающую среду, рассчитано по формуле

\[\delta Q_1 = P\Delta\tau.\tag{11}\]

Количество теплоты, переданное цилиндру, находится как разность

\[\delta Q_2 = \delta Q_0 - \delta Q_1.\tag{12}\]

Наконец, для подсчета величины \(Q_2\) - суммарной теплоты, переданной цилиндру, равно сумме теплот \(\delta Q_2\) от начала остывания до соответствующего значения температуры воды.

2.5 На рисунке показан график зависимости \(Q_2\) от температуры воды. В начале остывания температура цилиндра меньше температуры воды, поэтому цилиндр получает теплоту. Максимальное значение этой полученной теплоты равно \(Q_{2\,\text{max}} \approx 1700\,\text{Дж}\) и достигается при температуре примерно равной \(t^* \approx 65^\circ C\). После того, как температуры воды и цилиндра примерно выровнялись\(^2\), цилиндр начинает отдавать теплоту. Поэтому величины \(\delta Q_2\) становятся отрицательными, а зависимость \(Q_2(t)\) становится убывающей. Минимальное значение \(Q_{2\,\text{min}} \approx 500\,\text{Дж}\), очевидно, достигается при минимальной температуре воды \(t_{\text{min}} = 45^\circ C\).

2.6 Для расчета теплоемкости цилиндра можно использовать несколько методов, они изложены в порядке возрастания точности) Метод 1. По нагреву цилиндра. Из полученной зависимости \(Q_2(t)\) следует, что на нагревание цилиндра от комнатной температуры (в наших экспериментах \(t_{\text{ком}} = 16^\circ C\)) до максимальной температуры \(t^* \approx 65^\circ C\) потребовалось \(Q_{2\,\text{max}} \approx 1700\,\text{Дж}\). Следовательно, теплоемкость цилиндра равна

\[C = \frac{Q_{2\,\text{max}}}{t^* - t_{\text{ком}}} \approx \frac{1700}{65 - 16} \approx 35\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}}\tag{13}\]

Метод 2. По остыванию цилиндра. При остывании цилиндра его температура упала от \(t^* \approx 65^\circ C\) до \(t_{\text{min}} = 45^\circ C\), при этом он отдал количество теплоты, равное \(Q_{2\,\text{max}} - Q_{2\,\text{min}} \approx 1200\,\text{Дж}\). Это позволяет оценить теплоемкость цилиндра

\[C = \frac{Q_{2\,\text{max}} - Q_{2\,\text{min}}}{t^* - t_{\text{min}}} \approx 60\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}}.\tag{14}\]

Полученная разбежка может быть объяснена неточностью определения максимальной температуры цилиндра \(t^* \approx 65^\circ C\). Так как шаг изменения температуры составляет \(5^\circ C\), то и погрешность определения температуры составляет такую же величину, что приводит к погрешности определения теплоемкости минимум в \(20\%\). По этой же причине велика погрешность определения величины \(Q_{2\text{max}}\). Кроме того, на быстром этапе нагревания возможно, что не весь цилиндр успевает достичь теплового равновесия, что приводит к заниженному значению его теплоемкости.

Метод 3. По скорости остывания цилиндра.

Можно заметить, что зависимость \(Q_2(t)\) на последних интервалах примерно линейна. Как уже отмечалось, на этом этапе температура цилиндра примерно равна температуре воды. На этом участке коэффициент наклона графика \(\frac{\Delta Q_2}{\Delta t^\circ}\) оказывается равным теплоемкости цилиндра. На рисунке проведена усредненная прямая, аппроксимирующая полученную зависимость на этапе остывания. Определенная по ее наклону теплоемкость цилиндра оказывается равной

\[C \approx 55 \frac{\text{Дж}}{K}.\tag{15}\]

Это значение и этот метод являются наиболее точными.

Отметим, что коэффициент наклона на этапе разогрева имеет примерно в два раза большее значение. Это подтверждает предположение о неполном нагревании цилиндра (т.е. его внутренняя часть нагреться не успевает).

Примечание. Масса цилиндра примерно равна \(m_0 \approx 60\,\text{г}\), следовательно, полученное значение удельной теплоемкости алюминия равно \(c = \frac{C}{m} \approx 0{,}92 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}}\), при табличном значении \(c = 0{,}88 \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}}\). Таким образом, отличие составляет менее \(5\%\).

\(^2\) На самом деле температура цилиндра должна быть все время чуть выше температуры воды для обеспечения теплопередачи от цилиндра к воде. Однако процесс остывания идет достаточно медленно, а теплопроводность алюминия высока, поэтому можно считать, что в любой момент времени температура цилиндра равна температуре воды.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.