Максимум через минимум (теоретический тур)

Средняя скорость в любой момент связана с углом наклона прямой из начала координат к точке графика пути. Постройте график пути от времени, отразив участок с уменьшением координаты, и найдите касательные из начала координат.

Преобразуем исходный график в зависимость пути \(l\) от времени \(t\). Для этого сместим на одну клетку вверх ось времени и зеркально (относительно горизонтальной оси, совпадающей с участком графика \(x = \text{const}\)) отобразим участок, на котором координата уменьшается.

Средняя скорость тела в произвольный момент времени движения однозначно связана с угловым коэффициентом наклона прямой, проведённой из начала координат в соответствующую точку графика. Следовательно, прямые, имеющие наибольший и наименьший угол наклона, проведённые из начала координат и касающиеся полученного графика, определяют максимальную и минимальную среднюю скорость тела.

Пусть цена деления на оси пути \(l_0\), а на оси времени \(\tau\). Тогда \(\bar\upsilon_{\max} = 3l_0/(2\tau)\), \(\bar\upsilon_{\min} = l_0/(2\tau)\).

Тело двигалось быстрее всего на втором участке, так как соответствующий участок графика имеет наибольший угол наклона: \(\upsilon_{\max} = 5l_0/(2\tau)\). По условию \(\bar\upsilon_{\max} - \bar\upsilon_{\min} = l_0/\tau = 20\) м/с, следовательно, \(\upsilon_{\max} = \dfrac{5}{2}\cdot 20 = 50\) м/с.