Переменное трение

Скорость максимальна там, где равнодействующая сила равна нулю. Работа силы трения при линейном росте силы — это площадь треугольника.

Если груз находится в точке \(x\), то проекция равнодействующей силы на ось \(x\) равна: \[F_x = mg\sin\varphi - \alpha x\,mg\cos\varphi,\] где \(\varphi\) — угол наклона плоскости. Скорость будет максимальной, когда \(F_x = 0\); в этот момент координата груза равна \(x_0 = \dfrac{\operatorname{tg}\varphi}{\alpha}\).

При перемещении груза на расстояние \(L\) сила трения линейно возрастает от нуля до некоторого максимального значения \(\alpha L\cdot mg\cos\varphi\). Тогда модуль работы силы трения можно найти как произведение силы \((\alpha L\,mg\cos\varphi)/2\) на пройденный путь \(L\). Полный путь до остановки \(L = H/\sin\varphi\).

Потенциальная энергия груза идёт на работу силы трения: \[mgH = \frac{\alpha L^2 mg\cos\varphi}{2} = \frac{\alpha H^2 mg\cos\varphi}{2\sin^2\varphi} = mg\,\frac{H^2}{2x_0\sin\varphi}.\] Откуда получаем, что \(x_0 = H/(2\sin\varphi)\).

Запишем закон сохранения энергии при перемещении из точки \(x = 0\) в точку \(x = x_0\): \[\frac{mgH}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac12\,mgx_0\sin\varphi = \frac{mv^2}{2} + \frac{mgH}{4}.\] Откуда \[v = \sqrt{\dfrac{gH}{2}}.\]

Альтернативное решение. Построим график (рис. 19) проекции равнодействующей силы на ось \(X\) от перемещения \(x\). Работа равнодействующей силы равна нулю, так как кинетическая энергия в конце и в начале одинакова и равна нулю. Из этого следует, что работа по разгону тела (соответствует площади треугольника над осью \(x\)) равна по модулю работе по торможению тела (площадь треугольника под осью \(x\)). Эти треугольники равны, поэтому график пересекает ось \(x\) в точке \(L/2\). Работа равнодействующей силы по разгону тела (верхний треугольник) равна изменению кинетической энергии \(mv^2/2\). Площадь верхнего треугольника есть половина площади прямоугольника. Площадь прямоугольника численно равна работе силы тяжести при опускании груза на \(H/2\). Отсюда получаем равенство \(mv^2/2 = mgH/4\), из которого получается ответ.