Три блока

Запишите второй закон Ньютона для каждого груза и учтите, что нить нерастяжима: связь между скоростями грузов получается из геометрии смещений блоков.

Так как нить и блоки лёгкие, натяжение верёвки \(T\) всюду одинаково. Для груза №1 запишем в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, второй закон Ньютона: \[m_1 a_1 = m_1 g - 2T\sin\alpha.\] Для груза №2 второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось даст: \[m_2 a_2 = m_2 g - 2T.\]

Поскольку нить нерастяжимая, малое смещение по вертикали \(\Delta y_1\) груза №1 (рис. 16) и малое смещение по вертикали \(\Delta y_2\) груза №2 (рис. 17) связаны соотношением: \[2\Delta y_1\sin\alpha + 2\Delta y_2 = 0.\]

Рассматривая эти смещения за малый промежуток времени \(\Delta t\), получаем выражение, связывающее скорости грузов: \[v_1\sin\alpha + v_2 = 0.\] Найдём связь между малыми изменениями скоростей: \[\Delta(v_1\sin\alpha) + \Delta v_2 = \Delta v_1\sin\alpha + v_1\Delta(\sin\alpha) + \Delta v_2 = 0.\] Так как в начальный момент времени скорости грузов равны нулю, то эти изменения скоростей связаны соотношением: \[\Delta v_1\sin\alpha + \Delta v_2 = 0.\] Отсюда следует такая же связь между ускорениями грузов: \[a_1\sin\alpha + a_2 = 0.\] Решая полученную систему уравнений, находим: \[a_1 = g\,\dfrac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}, \qquad a_2 = -g\sin\alpha\,\dfrac{m_1 - m_2\sin\alpha}{m_1 + m_2\sin^2\alpha}.\]