Полусфера с зарядом

Подсказка

Дополните данную полусферу такой же полусферой так, чтобы получилась полная сфера. Как зависит потенциал однородно заряженной сферы от расстояния до её центра вне сферы?

Решение

Обозначим исходную полусферу индексом \(I\) и дополним её такой же полусферой \(II\). По принципу суперпозиции \(\varphi_\Sigma = \varphi_I + \varphi_{II}\). Тогда потенциалы точек \(O\), \(C\), \(D\) в поле полной сферы:

1. \(\varphi_{O\Sigma} = \varphi_{OI} + \varphi_{OII} = 100 + 100 = 200\) В;

2. \(\varphi_{C\Sigma} = \varphi_{O\Sigma} = 200\) В (потенциал всех точек полной сферы одинаков);

3. поскольку потенциал поля сферы \(\varphi \sim \dfrac{1}{r}\), то \(\varphi_{D\Sigma} = \dfrac{1}{2}\varphi_{C\Sigma} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(2R)\);

4. поскольку \(\varphi_{D\Sigma} = \varphi_{DI} + \varphi_{DII} = \varphi_{A\Sigma} = \varphi_{AI} + \varphi_{AII} = 100\) В \(= \varphi_\Sigma(-2R)\), то \(\varphi_{AII} = \varphi_{A\Sigma} - \varphi_{AI} = 100 - 38{,}2 = 61{,}8\) В;

5. положение точки \(A\) в поле полусферы \(II\) эквивалентно положению точки \(D\) в поле полусферы \(I\), поэтому \(\varphi_{DI} = \varphi_{AII} = 61{,}8\) В.

Ответ: потенциал в точке на оси \(OX\) с координатой \(x = 2R\) равен \(61{,}8\) В.