Куб с блоками и грузами

Рассмотрите три тела, связанные нитью, при нулевом ускорении куба: запишите второй закон Ньютона для каждого тела вдоль его движения. Затем из условия равновесия куба найдите силу \(F\).

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила реакции верхнего тела, сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, так как верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила \(F\), удерживающая куб в покое (направленная влево), и нити, перекинутые через блоки. Нити действуют на куб через блоки горизонтально (\(T_1\), \(T_2\)) и вертикально (\(T_1'\), \(T_2'\)). Условие равновесия куба даёт связь силы \(F\) с силами натяжения нитей и силой трения \(F_{\text{тр}}\) (1).

Чтобы найти силу \(F\), надо найти силы натяжения нитей и силу трения. Поэтому рассмотрим динамику трёх тел, скреплённых нитями, при нулевом ускорении куба. Меньшее тело \(m\) и большее тело \(2m\) движутся с ускорением \(a\), верхнее тело \(4m\) — тоже с ускорением \(a\) относительно куба. Второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления их движения: \[\begin{aligned} ma &= T_1 - mg,\\ 4ma &= T_2 - T_1 - 4km g,\\ 2ma &= 2mg - T_2. \end{aligned} \qquad (2)\] Решая систему \((2)\), находим \[a = \frac{g\,(1 - 4k)}{7}.\] Из формулы (1) и второго уравнения системы (2) находим силу \[F = 4ma = \frac{4mg\,(1 - 4k)}{7}.\] При \(k > 1/4\) тела не будут двигаться по кубу, поэтому куб будет стоять и \(F = 0\). Таким образом, \[F = \frac{4mg\,(1 - 4k)}{7}\ \text{при}\ k < 0{,}25, \qquad F = 0\ \text{при}\ k > 0{,}25.\]