Муравей на периметре квадрата

Средняя скорость (по величине) равна модулю перемещения, делённому на время. Сравните модуль перемещения с длиной пройденного пути, чтобы понять, на какой стороне квадрата окажется муравей.

Средней скоростью тела называется отношение вектора перемещения (вектора, соединяющего начальную и конечную точки) ко времени, за которое это перемещение совершено. Величина средней скорости — отношение модуля перемещения ко времени: \[v_{ср} = \frac{AX}{t} .\] Пусть точка старта муравья — вершина квадрата \(A\) (см. рисунок).

1) Если бы через время \(t\) муравей оказался на стороне \(AB\), его средняя скорость совпадала бы с его скоростью. А у нас это не так. Значит, на стороне \(AB\) муравей оказаться не может. 2) Если бы муравей оказался на стороне \(BC\), модуль его перемещения лежал бы в интервале от \(a\) до \(\sqrt{2}\,a\). При этом в точке \(B\) средняя скорость равнялась бы \(v\), а в точке \(C\) — \(v/\sqrt{2}\). Значит, \(v/\sqrt{2} \le v_{ср} \le v\), а у нас \(v_{ср} = v/2\), что не попадает в этот интервал. Значит, на стороне \(BC\) муравей тоже оказаться не может. 3) Если бы муравей оказался на стороне \(CD\), его средняя скорость лежала бы в интервале \(v/\sqrt{2} \approx v/1{,}41 \le v_{ср} \le v/3\). Заданная скорость \(v/2\) попадает в этот интервал. Значит, через время \(t\) муравей может оказаться на стороне \(CD\). 4) Если бы муравей оказался на стороне \(DA\), его средняя скорость лежала бы в интервале \(v/3 \le v_{ср} \le v/\infty\) (последняя граница отвечает ситуации, когда муравей приходит в начальную точку, и его перемещение и средняя скорость равны нулю).

Итак, через время \(t\) после начала движения муравей оказывается на стороне \(CD\). Найдём его перемещение. Поскольку средняя скорость муравья за это время в 2 раза меньше его скорости, длина отрезка \(AX\) в 2 раза меньше длины пути \(ABCX\). Если обозначить длину отрезка \(CX = x\), то для \(x\) получается уравнение \[\frac{ABCX}{2} = \sqrt{AD^2 + DX^2} \quad\Rightarrow\quad \left(2a + x\right) = 2\sqrt{a^2 + \left(a - x\right)^2} .\] Возводя это равенство в квадрат, получим квадратное уравнение относительно \(x\): \[3x^2 - 12ax + 4a^2 = 0 .\] Отсюда находим \[x_{1,2} = \frac{12a \pm \sqrt{144a^2 - 48a^2}}{6} = 2a\left(1 \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right) .\] Поскольку \(x\) меньше стороны квадрата, нужен корень со знаком минус.

Поэтому за время \(t\) муравей проходит путь \[S = ABCX = 2a + x = 4a - 2a\sqrt{\frac{2}{3}} = \left(4 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)a ,\] а скорость муравья равна \[v = \frac{S}{t} = \left(4 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)\frac{a}{t} .\]