Задачи › Формула линзы, увеличение

Капля жидкости как линза

  1. Капля жидкости как линза

    Физтех 2024/25, 11 кл.
    6/10

    Капля электропроводящей прозрачной жидкости с показателем преломления \(n = 1{,}4\) покоится на тонкой смачиваемой прозрачной горизонтальной диэлектрической подложке (см. рис.). Капля используется в качестве тонкой плосковыпуклой линзы для получения изображения маленького светящегося шарика-светодиода \(S\) на экране Э. Источник \(S\) можно перемещать вдоль главной оптической оси линзы. Плоскость экрана перпендикулярна оси и находится на расстоянии \(b = 6\) см от линзы. Расстояние от источника до линзы значительно больше диаметра пучка света, проходящего через линзу. Если под каплей соосно расположить два электрода, так что небольшой центральный электрод непосредственно контактирует с жидкостью, а периферийный (кольцо) изолирован от неё, то можно изменять радиус \(R\) кривизны верхней поверхности линзы по линейному закону в зависимости от напряжения \(U\), прикладываемого к электродам. Если светодиод на высоте \(a_1 = 12\) см над каплей, то изображение на экране при \(U_1 = 1\) В. Если светодиод на высоте \(a_2 = 18\) см, то изображение на экране при напряжении \(U_2 = 2\) В.

    Рисунок

    1. Выведите формулу для фокусного расстояния \(F\) плосковыпуклой тонкой линзы в зависимости от радиуса кривизны \(R\) и показателя преломления \(n\).

    2. Определите радиус кривизны \(R_0\) капли при нулевом напряжении.

    3. Считая, что светодиод излучает одинаковую световую мощность по всем направлениям, определите отношение средних освещённостей \(E_1/E_2\) первого и второго изображений. Поглощением света в подложке пренебречь. Освещённость — энергия света, падающего на единицу площади в единицу времени.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для пункта 2 запишите формулу линзы для обоих положений источника, учитывая, что радиус зависит от напряжения. Для пункта 3 выразите освещённость экрана через мощность источника и геометрию.

    Ответ

    1) \(F = \dfrac{R}{n-1}\);  2) \(R_0 = 1{,}4~\text{см}\);  3) \(\dfrac{E_1}{E_2} = 1\).

    Решение

    1. Удобно пустить луч, параллельный главной оптической оси, на плоскую поверхность линзы (см. рис.). Тогда \(n\sin\alpha = \sin\beta\); так как углы малы, \(n\alpha = \beta\). Из геометрии \(R\alpha = F(\beta - \alpha)\). Отсюда \[\frac1F = (n-1)\frac1R.\]

    Рисунок

    2. Формула линзы для двух положений светодиода: \[\frac{1}{a_1} + \frac1b = \frac{n-1}{R_0 + kU_1}, \qquad \frac{1}{a_2} + \frac1b = \frac{n-1}{R_0 + kU_2}.\] Подставляем числа: \(\dfrac1{12} + \dfrac16 = \dfrac14 = \dfrac{0{,}4}{R_0 + kU_1}\), откуда \(R_0 + kU_1 = 1{,}6\) см; \(\dfrac1{18} + \dfrac16 = \dfrac29 = \dfrac{0{,}4}{R_0 + kU_2}\), откуда \(R_0 + kU_2 = 1{,}8\) см. Отсюда \(k = 0{,}2\) см/В и \(R_0 = 1{,}4\) см.

    3. Пусть \(W_0\) — мощность источника, \(S_0\) — его площадь в поперечном сечении, \(S_1\) — площадь линзы, \(S_2\) — площадь изображения, \(a\) и \(b\) — расстояния от источника и изображения до линзы. Падающая на линзу мощность \(W = \dfrac{W_0}{4\pi a^2}S_1\). Площадь изображения \(S_2 = S_0\left(\dfrac ba\right)^2\). Освещённость изображения \[E = \frac{W}{S_2} = \frac{W_0}{4\pi b^2}\,\frac{S_1}{S_0}\] не зависит от \(a\). Поэтому \(\dfrac{E_1}{E_2} = 1\).

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх