Задачи › Самоиндукция, энергия магнитного поля

Катушка в выключаемом поле с резистором

  1. Катушка в выключаемом поле с резистором

    Физтех 2024/25, 11 кл.
    5/10

    Катушка с числом витков \(n\) и площадью каждого витка \(S_1\) находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией \(B_0\). Силовые линии поля направлены перпендикулярно плоскости каждого витка (см. рис.). Концы катушки замкнуты на резистор сопротивлением \(R\). Внешнее поле выключают в течение времени \(\tau\). За время выключения ток в катушке возрастает линейно от нуля до \(I_1\). Сопротивлением катушки и соединительных проводов пренебречь.

    Рисунок

    1. Найти скорость возрастания тока через время \(\tau/3\) от начала выключения.

    2. Найти заряд \(q\), протекший через резистор от момента начала выключения поля до момента, когда ток через резистор станет нулевым.

    3. Найти индуктивность \(L\) катушки.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Закон электромагнитной индукции для катушки с резистором: ЭДС самоиндукции и ЭДС индукции от изменения внешнего поля вместе дают падение напряжения на резисторе. Проинтегрируйте это уравнение по времени.

    Ответ

    1) \(\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{I_1}{\tau}\);  2) \(q = \dfrac{nB_0S_1}{R}\);  3) \(L = \dfrac{nB_0S_1}{I_1} - \dfrac{R\tau}{2}\).

    Решение

    1. Ток нарастает линейно, поэтому в любой момент, в том числе через \(\tau/3\), \(\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{I_1}{\tau}\).

    2. Уравнение контура: \[-nS_1\frac{\Delta B}{\Delta t} - L\frac{\Delta I}{\Delta t} = IR \quad\Longrightarrow\quad -nS_1\,\Delta B - L\,\Delta I = R\,\Delta q.\] Суммируем от начала выключения поля до момента нулевого тока: \[-nS_1(0 - B_0) - L(0 - 0) = Rq \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{nB_0S_1}{R}.\] (Этот ответ можно записать сразу, воспользовавшись законом электромагнитной индукции в форме Фарадея.)

    3. При \(0 < t < \tau\): \(-nS_1(0 - B_0) - L(I_1 - 0) = Rq_1\), где \(q_1 = \dfrac12 I_1\tau\). Отсюда \[L = \frac{nB_0S_1}{I_1} - \frac12R\tau.\]

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх