Цикл тепловой машины с молярной теплоёмкостью

В процессах, где давление пропорционально объёму, теплоёмкость выражается через \(C_V\) и \(R\). Работа за цикл равна сумме теплот с учётом знаков, а КПД — отношение работы к теплоте, полученной газом.

1. Для процесса \(P = \alpha V\) (\(\alpha = \text{const}\)) имеем \(\alpha V^2 = \nu RT\), откуда \(2\alpha V\,dV = \nu R\,dT\). Тогда \(\nu C\,dT = \nu C_V\,dT + \alpha V\,dV\) даёт \(C = C_V + \dfrac R2\). Итак, \(C_{34} = C_{12} = C_V + \dfrac R2\). Для процесса 3-4: \(3R = C_V + \dfrac R2\), откуда \(C_V = \dfrac52 R\), а для изобары 4-1: \(C_{41} = C_P = C_V + R = \dfrac72 R\).

2. Работа газа за цикл \[A = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} + Q_{41} = 3\nu R(T_2 - T_1) - Q + 3\nu R(T_4 - T_3) - Q = -2Q + 3\nu R\,(T_2 - T_3 + T_4 - T_1).\] Так как \(Q = \nu C_V(T_2 - T_3) = \nu C_P(T_4 - T_1)\), получаем \[A = -2Q + 3\nu R\left(\frac{Q}{\nu C_V} + \frac{Q}{\nu C_P}\right) = \frac{2}{35}Q.\]

3. КПД \(\eta = \dfrac{A}{Q_{12}}\), \(Q_{12} = 3\nu R(T_2 - T_1)\). Найдём \(T_2\) и \(T_1\). Из \(\dfrac{T_4}{T_1} = \dfrac52\) и \(T_4 - T_1 = \dfrac{2Q}{7\nu R}\) получаем \(T_1 = \dfrac{4Q}{21\nu R}\). Из \(T_2 - T_3 = \dfrac{2Q}{5\nu R}\) и \(\dfrac{T_2}{T_3} = \dfrac{T_4}{T_1} = \dfrac52\) получаем \(T_2 = \dfrac{2Q}{3\nu R}\). Тогда \[Q_{12} = \frac{10}{7}Q, \qquad \eta = \frac{2Q/35}{10Q/7} = \frac{1}{25}.\] (Равенство \(\dfrac{T_2}{T_3} = \dfrac{T_4}{T_1}\) следует из того, что процессы 1-2 и 3-4 проходят через начало координат, а 2-3 — изохора, 4-1 — изобара.)