Тело на пружине ударяется об уступ

Отношение кинетических энергий до и после каждого удара постоянно, поэтому энергии образуют геометрическую прогрессию. Время между событиями составьте из долей периода колебаний и времён движения от положения равновесия до уступа.

Пусть \(x\) — деформация пружины (координата тела), отсчитываемая от положения равновесия; уступ находится в точке \(x = -l_0\). Максимальные сжатия пружины: \(x_0 = \dfrac{11}{4}l_0\) при отпускании, \(x_1 = \dfrac52 l_0\) после первого удара, \(x_2\) после второго.

1. По закону сохранения энергии \(\dfrac12kx_0^2 = \dfrac12mV_0^2\), откуда \[V_0 = x_0\sqrt{\frac km} = \frac{11}{4}\,l_0\sqrt{\frac km}.\]

2. Обозначим кинетические энергии непосредственно перед первым ударом через \(W_1\), сразу после первого и второго ударов через \(W_2\) и \(W_3\). По закону сохранения энергии: \[\frac12kx_0^2 = W_1 + \frac12kl_0^2, \qquad \frac12kx_1^2 = W_2 + \frac12kl_0^2, \qquad \frac12kx_2^2 = W_3 + \frac12kl_0^2.\] По условию \(\dfrac{W_2}{W_1} = \dfrac{W_3}{W_2}\). С учётом выражений для \(x_0\) и \(x_1\) получаем \(\dfrac{W_2}{W_1} = \dfrac45\), и \[x_2 = l_0\sqrt{\frac{26}{5}}.\]

3. Период \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\), \(\omega = \sqrt{k/m}\). Время \[\tau = \frac14T + t_1 + t_2 + \frac14T,\] где \(x_0\sin\omega t_1 = l_0\) и \(x_1\sin\omega t_2 = l_0\). Отсюда \(t_1 = \sqrt{\dfrac mk}\arcsin\dfrac{4}{11}\), \(t_2 = \sqrt{\dfrac mk}\arcsin\dfrac25\), и \[\tau = \sqrt{\frac mk}\left(\pi + \arcsin\frac{4}{11} + \arcsin\frac25\right).\]