Пузырёк чёрного курильщика

Пузырёк в равновесии, когда плотность газа в нём равна плотности воды. Выразите отсюда температуру, нужную для равновесия, как функцию глубины — это прямая, которую можно наложить на данный график. Об устойчивости судите по тому, тяжелее или легче воды становится пузырёк при малом смещении вглубь.

Пузырёк будет находится в равновесии, если плотность газа \(\rho\) внутри него будет равна плотности воды \(\rho_\text{в}\).

Плотность газа согласно уравнению Менделеева-Клапейрона определяется выражением: \(\rho = \dfrac{\mu p}{RT}\), где \(T\) — температура газа в кельвинах, \(p\) — давление газа на глубине \(h\), равное \(p = p_0 + \rho_\text{в}gh\). Откуда получаем, что плотность газа равна \[\rho = \frac{\mu(p_0 + \rho_\text{в}gh)}{RT}.\]

Температура воды изменяется с глубиной, при этом данная зависимость не задана аналитически, а представлена в виде графика. Поэтому представим условие равновесия графически. Для этого из последнего уравнения получим зависимость температуры \(T\) газа внутри пузырька от глубины \(h\), на которой данный пузырёк находится. Учитывая, что \(\rho = \rho_\text{в}\), из последнего уравнения находим: \(T = \dfrac{\mu p_0}{R\rho_\text{в}} + \dfrac{\mu g}{R}\cdot h\). Подставим числа в уравнение: \(T = 2{,}62\text{ К} + 0{,}267\,\dfrac{\text{К}}{\text{м}}\cdot h\). Учитывая связь температуры \(t\) по шкале Цельсия с температурой \(T\) по шкале Кельвина, получаем: \(t = -270{,}53\ {}^\circ\text{C} + 0{,}267\,\dfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{м}}\cdot h\). Полученную из условия равновесия зависимость \(t(h)\) и зависимость из условия задачи представим на одном графике. Видно, что графики зависимостей пересекаются в трёх точках \(A\), \(B\) и \(C\), значит существует три соответствующих положения равновесия.

Из графика находим глубину для трёх положений равновесия пузырька, соответствующие точкам \(A\), \(B\) и \(C\) графика: \(h_A = (1030\pm10)\) м; \(h_B = (1110\pm10)\) м; \(h_C = (1135\pm10)\) м.

Проанализируем положение равновесия в точке \(A\) на устойчивость. Пусть пузырёк смещается на чуть бОльшую глубину. В этом случае температура газа внутри пузырька будет меньше той, которая необходима для обеспечения его равновесия, а значит плотность газа в пузырьке будет больше плотности воды. Это означает, что сила Архимеда будет меньше силы тяжести, и, следовательно, пузырёк будет тонуть и дальше. То есть получаем, что положение равновесия в точке \(A\) неустойчиво. Аналогично рассуждая, получим, что положение равновесия в точке \(B\) устойчиво, а в точке \(C\) — неустойчиво.