Преобразование Фурье
7/10В задаче не требуется оценка погрешностей!
Комплект оборудования включает в себя набор из двух пьезоэлектрических элементов, которые могут быть использованы как приёмник и передатчик акустических волн. Приёмник и передатчик следует установить на направляющую. Шкала на направляющей позволяет определить расстояние между устройствами. Сигнал на передатчик подаётся с генератора сигналов. Параметры сигналов, поступающих на передатчик и приёмник, можно анализировать с помощью осциллографа.
Оборудование
Приёмник и передатчик акустических волн
Направляющая
Генератор сигналов
Осциллограф
Соединительные провода (3 BNC–крокодил)
Часть A. Измерение параметров пьезоэлектрических элементов (1.0 балл)
Пьезоэлектрические элементы, используемые в эксперименте, рассчитаны на работы с гармоническим сигналом фиксированной (рабочей) частоты. Сигналы других частот пьезоэлемент принимает и передает значительно хуже.
Установите приёмник и передатчик на рельс таким образом, чтобы резонаторы располагались напротив друг друга на расстоянии порядка \(10~см\). Подключите приборы согласно рис. 1. Настройте генератор на режим подачи синусоидального сигнала максимальной амплитуды. Получите стабильную картинку на экране осциллографа в триггерном режиме «Авто» по первому каналу (каналу, подключенному к передатчику). Изменяя частоту генератора, наблюдайте за изменением амплитуды сигнала, поступающего с приёмника.
Рис. 1. Схема подключения: 1 – генератор сигналов 2 – осциллограф 3 – передатчик 4 – приёмник 5 – первый канал осциллографа 6 – второй канал осциллографа
A1. Определите с точностью до третьего знака значение частоты \(f_0\) генератора, при которой сигнал на приёмнике максимальный.
Примечание: Учтите, что частота \(f_0\) порядка \(10^4~Гц\).
Часть B. Измерение скорости распространения акустических волн в воздухе (2.0 балла)
Не меняя частоты генератора, найденной в пункте A1, перемещайте приемник относительно передатчика по рельсу. Осциллограмма канала приемника в этом случае будет перемещаться по экрану относительно осциллограммы передатчика.
B1. По величине этого смещения определите длину упругой волны, созданной передатчиком в воздухе. Проведите измерения не менее, чем для пяти расстояний между приёмником и передатчиком. Рассчитайте скорость звука в воздухе по полученным данным.
Изучение рядов Фурье
Любую периодическую функцию можно представить в виде бесконечного ряда, представляющего собой сумму гармонических функций (рис. 2):
\[f(x)=\operatorname{const}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right),\]\(a_n\), \(b_n\) – численные коэффициенты.
На практике это представление часто используют для анализа электрических сигналов. Анализируемый сигнал – периодическая функция напряжения от времени \(U(t)\) – представляется в виде суммы гармонических сигналов с частотой \(\omega_n=n \omega\):
\[U(t)=U_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \omega_n t+b_n \sin \omega_n t\right),\]\(\omega=2\pi/T\), где \(T\) – характерный период сигнала.
Рис. 2. Представление периодического сигнала в виде суммы гармонических функций
Установим приемник и передатчик на направляющую таким образом, чтобы резонаторы располагались вплотную друг к другу. Подадим на передатчик какой-либо сигнал с частотой \(\omega\). С помощью осциллографа будем считывать напряжение на выводах приёмника (выходной сигнал). В этом случае система, образованная двумя пьезоэлектрическими элементами, будет работать как фильтр, выделяющий из сигнала, подаваемого на передатчик, гармонический сигнал частоты, равной рабочей частоте \(\omega_0\) пьезоэлектрического элемента. Если уменьшить частоту сигнала, подаваемого на передатчик, в \(n\) раз, приёмник будет принимать гармонический сигнал с частотой \(\omega_0=n \omega=\omega_n\). Таким образом, мы можем проанализировать по отдельности слагаемые ряда Фурье, в виде которого можно представить подаваемый на передатчик сигнал.
Стоит учитывать, что система «передатчик–приёмник» имеет свой коэффициент передачи \(k\), связывающий амплитуду гармонического сигнала \(U_\mathrm{in}\) частоты \(\omega_0\), подаваемого на передатчик, и амплитуду сигнала \(U_\mathrm{out}\) на выходе приёмника:\[k=\frac{U_\mathrm{out}}{U_\mathrm{in}}.\] Его следует учитывать, решая задачу об определении параметров \(a_n\), \(b_n\).
Часть C. Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье (3.5 балла)
Импульсами прямоугольной формы называют импульсы, которые можно проиллюстрировать рисунком 3.
Для таких импульсов представление в виде ряда (формула \((2)\)) имеет следующий вид:\[\bar U(t)=U\frac a\pi\sum_{p=1}^{\infty}\frac{\sin p\omega t}p,\quad p=2k+1,\ k\in\mathbb Z_+,\]где \(a\) – некоторое целое число, которое требуется найти в этой части.
Рис. 3. Сигнал прямоугольной формы
С этого момента и до конца ВСЕЙ задачи положения приёмника и источника должны оставаться неизменными!
Установите приёмник и передатчик на направляющую таким образом, чтобы резонаторы располагались вплотную друг к другу. Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал гармонический сигнал. Подключите генератор и осциллограф к передатчику и приёмнику по схеме, изображённой на рис. 1. На генераторе установите максимальное значение амплитуды выходного сигнала.
C1. С помощью осциллографа измерьте амплитуды сигналов \(U_\mathrm{in}\) и \(U_\mathrm{out}\) на приёмнике и передатчике. Вычислите коэффициент \(k\).
Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал сигнал прямоугольной формы.
C2. Подавая на передатчик сигналы с характерными частотами \(\omega_0\), \(\omega_0/3\), \(\omega_0/5\), \(\ldots\), \(\omega_0/p\), \(\ldots\), измерьте зависимость амплитуды напряжения \(U\) на выходе приёмника от числа \(p\). Поддерживайте амплитуду сигнала генератора неизменной в течение всего эксперимента.
C3. Используя результаты проведённых измерений, определите число \(a\). Методика расчетов должна включать в себя построение как минимум одного линейного графика.
Часть D. Представление сигнала треугольной формы в виде ряда Фурье (3.5 балла)
Импульсами треугольной формы называют импульсы, которые можно проиллюстрировать рисунком 4.
Для таких импульсов представление в виде ряда (формула \((2)\)) имеет следующий вид:\[\hat U(t)=U\frac b{\pi^2}\sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{\frac{l-1}2}\frac{\sin l\omega t}{l^d},\quad l=2k+1,\ k\in\mathbb Z_+,\]где \(b\), \(d\) – некоторые целые числа, которое требуется найти в этом упражнении.
Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал сигнал треугольной формы.
Рис. 4. Сигнал треугольной формы.
D1. Подавая на передатчик сигналы с характерными частотами \(\omega_0\), \(\omega_0/3\), \(\omega_0/5\), \(\ldots\), \(\omega_0/l\), \(\ldots\), измерьте зависимость амплитуды напряжения \(U\) на выходе приёмника от числа \(l\). Поддерживайте амплитуду сигнала генератора неизменной в течение всего эксперимента.
D2. Используя результаты проведенных измерений, определите числа \(b\) и \(d\). Методика расчетов должна включать в себя построение как минимум одного линейного графика.
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветA1: \[f_{0}=25.25 \pm 0.02~кГц\]; B1: \[v=340.9~м/с\]; C1: \[1.05 \pm 0.02\]; C3: \[a=3.55 \approx 4\]
РешениеA1. Максимум амплитуды сигнала для рассматриваемого контрольного приёмника достигается при частоте:
Ответ:
\[f_{0}=25.25 \pm 0.02~кГц\]
Для разных комплектов пьезоэлектрических элементов имеет \(f_{0}\) может лежать в интервале \(25.15-25.65~кГц\).
B1. С помощью осциллографа будем измерять разность фаз между сигналами. По шкале на направляющей однократно определим координату приёмника \(x_{r}\). Плавно отдаляя передатчик от приёмника, будем измерять координаты положения передатчика \(x_{t}\), при которых сигналы находятся в противофазе (в этом случае пересечения осциллограмм двух сигналов, построенных в одинаковых осях, должны лежать точно на горизонтальной оси) (табл. 1). Пусть \(N\) – номер измерения, \(r=x_{r}-x_{t}\) – расстояние между приёмником и передатчиком.
\[x_r = 30.0~см,\quad \sigma_x=0.05~см\]
Таблица 1. Результаты измерений
\(N\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 \(x_t,~см\) 28.0 26.5 25.2 23.8 22.5 21.1 19.7 18.4 17.1 15.7 14.5 \(r,~см\) 2.0 3.5 4.8 6.2 7.5 8.9 10.3 11.6 12.2 14.3 15.5 Построим график зависимости расстояния \(r\) от номера измерения \(N\) (рис. 5).
Рис. 5. График зависимости \(l(N)\)
Угловой коэффициент графика \(l(N)\) равен длине акустической волны.
Угловой коэффициент графика: \(\lambda=1.35~см\).
Скорость распространения волны: \(v=\lambda \cdot f_{0}=340.9~м/с\).
Ответ:
\[v=340.9~м/с\]
C1. Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье
Для прямоугольных импульсов преобразование в ряд Фурье имеет следующий вид:
\[\bar{U}(t)=U \frac{a}{\pi} \sum_{p=1}^{\infty}\frac{\sin p \omega t}{p}, \quad p=1,3,5, \ldots\]\(a\) – некоторое целое число, которое требуется найти в этом упражнении. Пусть \(U_{r}\) – удвоенная амплитуда (<>) напряжения на приёмнике, \(U_{t}\) – удвоенная амплитуда напряжения на передатчике. Учитывая коэффициент передачи \(k\) и используя новые обозначения, запишем формулу представления сигнала в виде ряда для измеряемых напряжений:
\[U_{r}=\frac{a k}{\pi p} \cdot U_{t} \qquad(3)\]Пусть
\[h=\frac{U_{t}}{p}\]Величину \(a\) можно найти, определив угловой коэффициент \(\eta\) графика зависимости \(U_{r}(h)\):
\[\eta=\frac{a k}{\pi}\]Проведём измерение коэффициента передачи:\[U_{in}=(21.8 \pm 0.2)~В,\quad U_{out}=(22.8 \pm 0.2)~В\implies\]
Ответ:
\[1.05 \pm 0.02\]
C2. Проведём измерение зависимости величин \(U_{r}\) от \(U_{t}\) (табл. 2). Для каждого \(p\) вычислим соответствующее значение \(h\).
Таблица 2. Результаты измерений
\(p\) \(f/p,~кГц\) \(U_t,~В\) \(U_r,~В\) \(h,~В\) 1 25.250 21.6 26 21.60 3 8.417 21.6 9.6 7.20 5 5.050 21.6 5.48 4.32 7 3.607 21.6 4.24 3.09 9 2.806 21.6 3.44 2.40 11 2.295 21.6 2.64 1.96 13 1.942 21.6 2.28 1.66 15 1.683 21.6 2.16 1.44 17 1.485 21.6 1.76 1.27 C3. Построим график зависимости \(U_{r}(h)\) (рис. 6).
Из графика \(\eta=1.19\).
Рис. 6. График зависимости \(U_{r}(h)\).
Ответ:
\[a=3.55 \approx 4\]
D1. Для треугольных импульсов преобразование в ряд Фурье имеет следующий вид: \[\hat{U}(t)=U \frac{b}{\pi^{2}} \sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{\frac{l-1}{2}}\left(\frac{\sin l \omega t}{l^{d}}\right), \quad l=1,3,5 \ldots\]\(b\), \(d\) – некоторые целые числа, которое требуется найти в этом упражнении.
Пусть \(U_{r}\) – удвоенная амплитуда («peak-to-peak») напряжения на приёмнике, \(U_{t}\) – удвоенная амплитуда напряжения на передатчике. Учитывая коэффициент передачи \(k\) и используя новые обозначения, запишем формулу представления сигнала в виде ряда для измеряемых напряжений: \[U_{r}=k \frac{b}{\pi^{2}} \cdot U_{t} \cdot l^{-d} \qquad(4)\] Поделим обе части уравнения на \(U_{t}\) : \[\frac{U_{r}}{U_{t}}=k \frac{b}{\pi^{2}} \cdot l^{-d}\] Сделаем замену: \[m=\frac{U_{r}}{U_{t}}, \quad \mu=k \frac{b}{\pi^{2}}\] Тогда \[m=\mu \cdot l^{-d}\] Проведём линеаризацию: \[\ln m=\ln \mu-d \ln l \qquad(5)\] Проведём измерение зависимости величин \(U_{r}\) от \(U_{t}\) (табл. 3).
Таблица 3. Результаты измерений и вычислений
\(l\) \(f/l,~кГц\) \(U_t,~В\) \(U_r,~В\) \(m\) \(\ln m\) \(\ln l\) 1 25.25 20.2 16 0.7921 -0.23 0 3 8.417 20.2 1.96 0.0970 -2.33 1.10 5 5.050 20.2 0.7 0.0347 -3.36 1.61 7 3.607 20.2 0.368 0.0182 -4.01 1.95 9 2.806 20.2 0.23 0.0114 -4.48 2.20 11 2.295 20.2 0.12 0.0059 -5.13 2.40 13 1.942 20.2 0.09 0.0045 -5.41 2.56 15 1.683 20.2 0.078 0.0039 -5.56 2.71 17 1.485 20.2 0.045 0.0022 -6.11 2.83 D2. Величины \(d\) и \(\mu\) можно определить из графика зависимости \(\ln m(\ln l)\).
Построим график зависимости \(\ln m(\ln l)\) (рис. 7).
Рис. 7. График зависимости \(\ln m(\ln l)\)
Из графика \(d=2.06 \approx 2\), \(\ln \mu=-0.136\),\[b=e^{\ln \mu} \cdot \frac{\pi^{2}}{k}=8.23 \approx 8.\]
Ответ:
\[b=8.23\approx8\]
Источник: pho.rs/p/3779.
Похожие задачи
- Цепочка шариков на пружинах Савченко, №3.6.1
- Насколько раздвинулись атомы Савченко, №3.6.2
- Модуль Юнга и жёсткость стержня Савченко, №3.6.3
- Жёсткость одной связи Савченко, №3.6.4
- ◇ стержень с тремя грузами Савченко, №3.6.5
- Трамвайные рельсы Савченко, №3.6.6