Электроны

Электроны, движущиеся в плоскости \(x\)–\(y\), описывают окружности радиуса \(R=mv/(Be)\); крайние точки пятна по \(y\) получаются поворотом окружности вокруг источника. По оси \(z\) дальше всех уходит электрон, чья винтовая траектория касается экрана.

Диаметр пятна вдоль \(y\): \(L=\sqrt{\dfrac{2amv}{Be}-a^2}+\sqrt{4\left(\dfrac{mv}{Be}\right)^2-a^2}\); вдоль \(z\): \(\pi\sqrt{\left(\dfrac{2mv}{Be}\right)^2-a^2}\); наибольшая яркость — при максимальном \(y\): \(y=\sqrt{4\left(\dfrac{mv}{Be}\right)^2-a^2}\).

Для нахождения максимального диаметра вдоль оси \(y\) рассмотрим частицы, которые движутся в плоскости \(x\)–\(y\). В таком случае траекторией электрона является окружность, потому что действующая со стороны магнитного поля сила \(F=evB\) постоянна по величине и всё время перпендикулярна скорости. Если бы у электрона была ещё и составляющая вдоль \(z\), то траекторией была бы винтовая линия, радиус которой был бы меньше, и поэтому диаметр вдоль \(y\) получился бы меньше. Радиус находим, приравнивая действующую со стороны магнитного поля силу центростремительной: \[\frac{mv^2}{R}=evB\quad\Rightarrow\quad R=\frac{mv}{Be}.\] Все электроны в этой плоскости движутся по окружностям одного радиуса, и траектории электронов, движущихся под разными углами, можно найти простым поворотом этой окружности вокруг точки \(O\). Дальше всего в положительном направлении оси \(y\) электрон попадает тогда, когда при ударе об экран он находится как можно дальше от начальной точки, то есть прошёл ровно половину дуги окружности, см. рисунок:

Так как экран находится на расстоянии \(a\) от источника электронов, по теореме Пифагора получаем для максимального значения \(y\) пятна \[b=\sqrt{4R^2-a^2}=\sqrt{4\left(\frac{mv}{Be}\right)^2-a^2}.\] Отсюда видно, что меньшему \(R\) соответствует меньший диаметр и максимальный диаметр вдоль оси \(y\) действительно получается тогда, когда частица движется в плоскости \(x\)–\(y\), как мы и утверждали в начале.

Поворачивая дугу окружности вокруг точки \(O\), видим, что при минимальном значении \(y\) окружность касается экрана, см. рисунок:

Так как длина отрезка \(QT\) равна \(R-a\), составляющую отрезка \(OQ\) вдоль \(y\) можно найти по Пифагору: \[y_{\min}=-\sqrt{R^2-(R-a)^2}=-\sqrt{2aR-a^2}=-\sqrt{\frac{2amv}{Be}-a^2}.\] Таким образом, диаметр пятна вдоль оси \(y\) равен \[L=\sqrt{\frac{2amv}{Be}-a^2}+\sqrt{4\left(\frac{mv}{Be}\right)^2-a^2}.\] На этом пятне яркость наибольшая при максимальном значении \(y\), потому что оно соответствует экстремуму отклонения электрона \(\Delta_y\) вдоль оси \(y\). Если обозначить через \(\alpha\) угол старта электрона, то \[\frac{d\Delta_y}{d\alpha}=0,\] то есть в малом интервале углов старта \(\Delta\alpha\) все электроны приходят почти точно в одну и ту же точку назначения.

Найдём диаметр вдоль оси \(z\) в плоскости \(y=0\). Дальше всех по оси \(z\) доходят те частицы, винтовая траектория которых касается плоскости \(x=-a\) (при «виде сверху» на плоскость \(x\)–\(y\) круговая траектория радиуса \(r=\frac a2\) касается прямой \(x=-a\)) и которые стартуют в плоскости \(y\)–\(z\), то есть с начальной скоростью, у которой проекция \(v_x=0\). Далее находим \[\frac a2=\frac{mv_y}{Be}\quad\Rightarrow\quad v_y=\frac{aBe}{2m}\quad\Rightarrow\quad v_z=\sqrt{v^2-\left(\frac{aBe}{2m}\right)^2}.\] Путь электронов с такой начальной скоростью длится половину циклотронного периода. Период находим из соотношения \(T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi m}{Be}\). Половина периода равна \(t=\dfrac T2=\dfrac{\pi m}{Be}\), и для размера пятна вдоль оси \(z\) получаем \[2\cdot tv_z=\pi\sqrt{\left(\frac{2mv}{Be}\right)^2-a^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.