Камера

Обратите ход лучей: предмет на месте светочувствительного элемента, изображение — в бесконечности. Рассеивающая линза даёт мнимое изображение, которое собирающая линза переводит в бесконечность; угол обзора сохраняется при равенстве \(h'/f_2=h/f\).

\(f_1=\dfrac{f_2f(L_m-f_2)}{(f-f_2)^2}\approx1{,}39\) см, \(d=\dfrac{f_2(f-L_m)}{f-f_2}\approx1{,}91\) см.

Ясно, что поскольку северное сияние находится далеко, для получения чёткого изображения светочувствительный элемент должен находиться в фокусе первоначальной линзы, то есть на расстоянии \(f=14\) см. Так как луч, проходящий через центр линзы, не меняет направления, первоначальный угол обзора равен \(2\alpha=2\arctan(h/f)\).

На рисунке изображена схема компактной камеры. Для простоты рассмотрим ситуацию наоборот: наблюдаемый предмет находится на месте светочувствительного элемента, а изображение строится в бесконечности (принцип обратимости лучей). Рассеивающая линза, расположенная на расстоянии \(d\) от собирающей линзы, создаёт из предмета \(A\) мнимое изображение \(A'\). Это мнимое изображение рассматривается собирающей линзой, которая строит из него изображение в бесконечности. Можно записать следующие уравнения: \[\begin{align} \frac1{k_1}-\frac1{a_1}&=\frac1{f_1},\\ k_1+d&=f_2,\\ a_1+d&=L_m. \end{align}\] Первое из них находит положение мнимого изображения, создаваемого рассеивающей линзой. Второе уравнение гарантирует, что собирающая линза строит из него изображение в бесконечности. Третье уравнение обеспечивает компактность всей системы. Кроме приведённых уравнений, необходимо сохранить и первоначальный угол обзора камеры. Для этого замечаем, что изображённый на рисунке угол \(\angle A'O_2F_2=\alpha\). Поэтому можно записать \[\frac{h'}{f_2}=\frac hf, \tag{2}\] где \(h'\) обозначает высоту изображения \(A'\), которую можно найти из подобия треугольников \(OAO_1\) и \(F_2A'O_1\): \[h'=h\,\frac{k_1}{a_1}. \tag{3}\] Решая возникшую из уравнений (1)–(5) систему, получаем \[\begin{align} f_1&=\frac{f_2f(L_m-f_2)}{(f-f_2)^2}\approx1{,}39\text{ см},\\ d&=\frac{f_2(f-L_m)}{f-f_2}\approx1{,}91\text{ см}. \end{align}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.