Пассажирский поезд

Ускорение пассажира складывается из трёх взаимно перпендикулярных: свободного падения, тангенциального и центростремительного. Скорость в середине участка найдите из формулы пути при равнозамедленном движении.

\(m=\dfrac Pa\), \(a=\sqrt{g^2+a_t^2+a_r^2}\), где \(a_t=\dfrac{2(\alpha-1)s}{(\alpha+1)t^2}\), \(a_r=\dfrac{2s\varphi}{(\alpha+1)^2t^2}\,(\alpha^2+1)\); \(m\approx85{,}6\) кг.

На пассажира действуют три взаимно перпендикулярных ускорения: ускорение свободного падения, центростремительное ускорение и линейное (тангенциальное) ускорение. Найдём сначала, чему равно ускорение поезда в направлении движения. Пусть начальная скорость поезда \(v_a\), а конечная \(v_l\). Тогда \(v_a/v_l=\alpha\Rightarrow v_a=\alpha v_l\). Так как скорость меняется равномерно (линейно), средняя скорость выражается как частное от деления длины пути на время, а также как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей: \[\frac{v_a+v_l}{2}=\frac{(\alpha+1)v_l}{2}=\frac st\quad\Rightarrow\quad v_l=\frac{2s}{(\alpha+1)t}.\] Ускорение в направлении движения равно \[a_t=\frac{v_a-v_l}{t}=\frac{(\alpha-1)v_l}{t}=\frac{2(\alpha-1)s}{(\alpha+1)t^2}.\] Далее исследуем центростремительное ускорение. Для этого нужно найти радиус траектории, который для окружности равен \(r=s/\varphi\), так как изменение направления движения равно пройденному по окружности углу. Найдём скорость \(v_k\) в середине траектории. Для этого воспользуемся общей формулой для равномерно ускоренного (замедленного) движения \(d=(v_2^2-v_1^2)/(2a)\), которая в нашем случае принимает вид \[\frac s2=\frac{v_a^2-v_k^2}{2a_t}.\] Из неё выражаем \[v_k=\sqrt{v_a^2-a_ts}=\sqrt{\left(\frac{2\alpha s}{(\alpha+1)t}\right)^2-\frac{2(\alpha-1)s^2}{(\alpha+1)t^2}}=\sqrt{\frac{4\alpha^2s^2-2(\alpha-1)(\alpha+1)s^2}{(\alpha+1)^2t^2}}=\frac{s}{(\alpha+1)t}\sqrt{2\alpha^2+2}.\] Поэтому центростремительное ускорение равно \[a_r=\frac{v_k^2}{r}=\frac{v_k^2\varphi}{s}=\frac{2s\varphi}{(\alpha+1)^2t^2}\,[\alpha^2+1].\] Последнее ускорение — ускорение свободного падения, обозначим его \(g\). Так как все ускорения перпендикулярны, для нахождения результирующего ускорения нужно сложить квадраты ускорений и извлечь из суммы квадратный корень: \[a=\sqrt{g^2+a_t^2+a_r^2}=\sqrt{g^2+\left(\frac{2(\alpha-1)s}{(\alpha+1)t^2}\right)^2+\left(\frac{2s\varphi}{(\alpha+1)^2t^2}\,[\alpha^2+1]\right)^2}.\] Между весом и массой выполняется соотношение \[P=ma\ \Rightarrow\ m=\frac Pa.\] Если подставить в формулу данные значения, получим ускорение пассажира \(a\approx9{,}81\) м/с\(^2\) и массу \(m\approx85{,}6\) кг.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.