Крыша

На каждую проволоку действуют три силы: горизонтальная сила в точке соединения, нормальная реакция цилиндра и сила тяжести; их линии действия пересекаются в одной точке. Для устойчивости центр масс должен лежать ниже оси цилиндра при повороте крыши как целого.

а) \(R=\dfrac L2\,\dfrac{\sin^3(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}\); б) \(\alpha<\pi/2\).

В точке контакта двух проволок \(A\) (см. рисунок ниже) проволоки в силу симметрии и третьего закона Ньютона действуют друг на друга горизонтальными противоположно направленными силами; в точке касания проволоки и цилиндра \(B\) на проволоку действует сила давления, перпендикулярная проволоке и потому её продолжение проходит через ось цилиндра \(Q\). Сила тяжести приложена в середине проволоки \(C\). Так как проволока находится в равновесии и на неё действуют силы в трёх точках, продолжения этих сил должны пересекаться в одной точке \(O\) (иначе относительно точки пересечения двух сил третья сила действовала бы на проволоку с отличным от нуля моментом, и проволока начала бы двигаться). Итак,

проведённая из точки \(A\) горизонталь, проведённая из точки \(C\) вертикаль и продолжение прямой \(QB\) должны все пересекаться в одной точке. Замечаем, что \(\angle ACO=\alpha/2\) и \(\angle AOB=\alpha/2\), поэтому \[\begin{align*} |AO|&=|AC|\sin(\alpha/2)=(L/2)\sin(\alpha/2),\\ |AB|&=|AO|\sin(\alpha/2)=(L/2)\sin^2(\alpha/2) \end{align*}\] и \[R=|QB|=|AB|\tan(\alpha/2)=(L/2)\,\sin^3(\alpha/2)/\cos(\alpha/2).\] При анализе устойчивости замечаем, что если «крыша» поворачивается как целое, то центр масс движется по окружности, и вопрос только в том, выше он или ниже оси цилиндра \(Q\); в последнем случае центр масс в начальном положении находится в самой низкой позиции и система устойчива. Следовательно, условием устойчивости является \[|AQ|<|AC|\cos(\alpha/2).\] Если подставить в это неравенство \[|AQ|=|AB|/\cos(\alpha/2)=(L/2)\sin^2(\alpha/2)/\cos(\alpha/2)\] и \[|AC|\cos(\alpha/2)=(L/2)\cos(\alpha/2),\] то получим \(\sin^2(\alpha/2)<\cos^2(\alpha/2)\). Так как для «крыши» должно выполняться \(0<\frac\alpha2<90^\circ\), то и синус, и косинус положительны, и можно извлечь квадратный корень из обеих частей. Получаем условие \(\sin(\alpha/2)<\cos(\alpha/2)\), которое выполняется при \(\alpha<\pi/2\). Замечаем, что последнее условие можно представить разными способами, используя связь между \(R\), \(L\) и \(\alpha\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.