Воздушный шарик

Запишите баланс энергии: работа Юку над газом минус работа газа против внешнего давления равна изменению внутренней энергии; работы выражаются через \(pV\) и \(p_0V_2\).

Температура не изменилась: \(T_2=T\).

Перед открытием клапана температура воздуха была \(T\), а давление воздуха \(p\). Кроме того, обозначим, что объём воздуха перед открытием клапана был \(V\), а число молей \(n\). Тогда тепловая энергия газа была \(E_1=c_VnT\). Если площадь поршня \(S\), а амплитуда движения поршня \(L\), то Юку, нажимая с постоянной силой \(F\) до конца вниз, совершает работу \[A_1=FL=\frac FS\,SL=pV.\] Аналогично в более общем виде выполняется \(\Delta A=p\,\Delta V\). Пусть после наполнения шарика объём шарика \(V_2\), а температура газа в нём \(T_2\). Так как натяжение резины шарика мы считали пренебрежимо малым, давление внутри шарика всё время равно внешнему давлению \(p_0\) (за исключением мест непосредственно у клапана, откуда втекает воздух и где давление меняется при прохождении через клапан, но мы рассматриваем давление вдали от клапана, у поверхности шарика). Чтобы отодвинуть воздух, находящийся вне шарика, находящийся в шарике газ совершает работу \(A_2=p_0V_2\), учитывая, что давление у стенок шарика постоянно равно внешнему давлению \(p_0\). В конечном состоянии тепловая энергия в наполненном шарике \(E_2=c_VnT_2\). По закону сохранения энергии разность тепловых энергий должна равняться суммарной работе: \[E_2-E_1=A_1-A_2\quad\to\quad c_VnT_2-c_VnT=pV-p_0V_2.\] Знаки работ мы выбрали, учитывая, что совершённая Юку работа \(A_1\) добавила газу тепловой энергии, а сам газ совершил работу \(A_2\), которая тепловой энергии отняла. И в начальном, и в конечном состоянии выполняется закон идеального газа, соответственно \(pV=nRT\) и \(p_0V_2=nRT_2\). С их помощью из закона сохранения энергии можно записать \[c_VnT_2-c_VnT=nRT-nRT_2\quad\to\quad n(c_V+R)(T_2-T)=0.\] Из последнего соотношения получаем \(T_2=T\). Температура воздуха не изменилась.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.