Баскетбольный мяч

Дальность броска при оптимальном угле обратно пропорциональна ускорению. Найдите результирующую силу, учтя силу Архимеда и вес газа внутри мяча.

В \(\dfrac{m}{m-(\rho_0-\rho_{\text{He}})V}\) раз, где \(V=\dfrac43\pi\left(\dfrac D2\right)^3\).

Если начальная скорость мяча \(v\), то вертикальная и горизонтальная составляющие скорости равны \(v\sin\varphi\) и \(v\cos\varphi\). Мяч движется по параболе, и по прошествии половины времени полёта вертикальная составляющая скорости равна нулю. Поскольку ускорение \(a\) постоянно, \(t/2=v\sin\varphi/a\), откуда \(t=2v\sin\varphi/a\). Горизонтальная скорость не меняется, и поэтому пройденное по горизонтали расстояние находим так: \[L=v\cos\varphi\,t=\frac{v^2}{a}\cdot2\cos\varphi\sin\varphi.\]

Дальше всего мяч можно бросить в обоих случаях при угле броска 45 градусов. Значит, угол в случае двух мячей не меняется, и важно то, что дальность обратно пропорциональна ускорению: \[L\propto1/a.\] Надо учесть, что помимо силы тяжести самого мяча на мяч действует ещё и выталкивающая сила, а также следует учесть силу тяжести газа внутри мяча, так что ускорения, действующие на два мяча, различны. Так как оболочка баскетбольного мяча тонкая, объём газа внутри мяча \(V=\dfrac43\pi\left(\dfrac D2\right)^3\). Суммарные силы, действующие на мячи, в двух случаях равны \[\begin{align*} F_{\text{возд}}&=\rho_0Vg-(m+\rho_0V)g=-mg,\\ F_{\text{He}}&=\rho_0Vg-(m+\rho_{\text{He}}V)g=-mg+(\rho_0-\rho_{\text{He}})Vg. \end{align*}\] Так как силы пропорциональны ускорениям, отношение сил равно и отношению ускорений: \[\frac{a_{\text{возд}}}{a_{\text{He}}}=\frac{F_{\text{возд}}}{F_{\text{He}}}=\frac{mg}{mg-(\rho_0-\rho_{\text{He}})Vg}.\] Так как дальность броска пропорциональна обратной величине ускорения (\(L\propto1/a\)), для отношения дальностей получаем \[\frac{L_{\text{He}}}{L_{\text{возд}}}=\frac{a_{\text{возд}}}{a_{\text{He}}}=\frac{mg}{mg-(\rho_0-\rho_{\text{He}})Vg}=1+\frac{(\rho_0-\rho_{\text{He}})V}{m-(\rho_0-\rho_{\text{He}})V}.\] Следовательно, мяч, наполненный гелием, можно бросить в \(\dfrac{m}{m-(\rho_0-\rho_{\text{He}})V}\) раз дальше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.