Балка с кубиком в воде и упором

Запишите условие равновесия моментов относительно упора. Натяжение нити зависит от глубины погружения кубика; найдите его наибольшее и наименьшее значения, разобрав случаи «кубик тяжелее воды» и «кубик легче воды».

Сила \(F=\dfrac{Tl-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\), где \(T\) — натяжение нити. При \(\rho_{\text{к}}\ge\rho_{\text{в}}\): \(F_{\max}=\dfrac{\rho_{\text{к}}ga^3l-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\), \(F_{\min}=\dfrac{(\rho_{\text{к}}-\rho_{\text{в}})ga^3l-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\). При \(\rho_{\text{к}}<\rho_{\text{в}}\): \(F_{\max}\) то же, \(F_{\min}=-\dfrac{Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\).

Условие равновесия — сумма моментов относительно упора равна нулю: \[F(L-l)+\left(\frac{L}{2}-l\right)Mg-Tl=0,\] откуда \(F=\dfrac{Tl-Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)}{L-l}\). Натяжение нити \(T=mg-F_{\text{арх}}=\rho_{\text{к}}ga^3-\rho_{\text{в}}ga^2h\), где \(h\) — глубина погружения кубика в воду (\(0\le h\le a\)).

Экстремумы \(T\) зависят от соотношения плотностей.

Случай 1: \(\rho_{\text{к}}>\rho_{\text{в}}\). Наибольшее \(T\) — при \(h=0\): \(T_{\max}=\rho_{\text{к}}ga^3\). Наименьшее — при \(h=a\): \(T_{\min}=(\rho_{\text{к}}-\rho_{\text{в}})ga^3\).

Случай 2: \(\rho_{\text{к}}<\rho_{\text{в}}\). Наибольшее \(T\) по-прежнему \(T_{\max}=\rho_{\text{к}}ga^3\). Наименьшее — когда сила тяжести кубика уравновешена силой Архимеда, \(T_{\min}=0\).

Так как \(F\) растёт с \(T\) (коэффициент \(\dfrac{l}{L-l}>0\)), подставляя крайние значения \(T\), получаем \(F_{\max}\) и \(F_{\min}\) из ответа. Отметим, что при определённом соотношении масс и плотностей сила \(F\) может обратиться в нуль, когда \(Tl=Mg\left(\frac{L}{2}-l\right)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.