Электросхема

В момент максимального тока напряжение на катушке равно нулю; примените закон сохранения энергии с учётом работы источника, а для времени составьте уравнения Кирхгофа.

\(I_0 = \mathcal{E}\sqrt{\dfrac{C}{6L}}\),  \(\tau = \dfrac{\pi}{4}\sqrt{6LC}\).

1. Сразу после замыкания. Сразу после замыкания ключа происходит практически мгновенная зарядка конденсаторов, так как по условию все элементы цепи идеальные, то есть можно пренебречь их активными сопротивлениями, а вот ток в катушке в этот момент всё ещё отсутствует, так как индуктивность препятствует резким изменениям силы тока. Поэтому мысленно заменим катушку на разрыв цепи и рассчитаем общую ёмкость \(C_1\), энергию \(W_1\) и заряд \(q_1\) системы конденсаторов: \[C_1 = \dfrac{C\cdot 2C}{C + 2C}\cdot 2 = \dfrac{4}{3}C, \qquad W_1 = \dfrac{C_1\mathcal{E}^2}{2} = \dfrac{2}{3}C\mathcal{E}^2, \qquad q_1 = C_1\mathcal{E} = \dfrac{4}{3}C\mathcal{E}.\] 2. В искомый момент. Когда сила тока через катушку максимальна, напряжение на ней равно нулю, так как оно пропорционально скорости изменения силы тока. Поэтому мысленно заменим катушку на провод и рассчитаем общую ёмкость \(C_2\), энергию \(W_2\) и заряд \(q_2\) системы конденсаторов: \[C_2 = \dfrac{C + 2C}{2} = \dfrac{3}{2}C, \qquad W_2 = \dfrac{C_2\mathcal{E}^2}{2} = \dfrac{3}{4}C\mathcal{E}^2, \qquad q_2 = C_2\mathcal{E} = \dfrac{3}{2}C\mathcal{E}.\] 3. Расчёт силы тока. Запишем закон сохранения энергии с учётом работы источника \(A = \mathcal{E}(q_2 - q_1)\) с момента завершения первичной зарядки конденсаторов до достижения максимальной силы тока через катушку: \[W_1 + A = W_2 + \dfrac{LI_0^2}{2},\] откуда находим искомую силу тока: \[I_0 = \mathcal{E}\sqrt{\dfrac{C}{6L}}.\] 4. Расчёт времени. В силу симметрии схемы конденсаторы одинаковой ёмкостью имеют одинаковые заряды в каждый момент времени. Пусть \(Q_1\) и \(Q_2\) — заряды правых обкладок конденсаторов ёмкостями \(C\) и \(2C\) соответственно, \(I\) — сила тока через катушку в некоторый момент времени (см. рисунок), тогда правила Кирхгофа имеют вид

\[\mathcal{E} = \dfrac{Q_1}{C} + \dfrac{Q_2}{2C}, \qquad \mathcal{E} = \dfrac{Q_1}{C} + L\dot I + \dfrac{Q_1}{C}, \qquad \dot Q_1 - \dot Q_2 = I,\] откуда после исключения \(I\) и \(Q_2\) получаем уравнение \[\ddot Q_1 + \dfrac{2Q_1}{3LC} = \dfrac{\mathcal{E}}{3L},\] описывающее гармонические колебания с периодом \[T = \pi\sqrt{6LC}.\] В начальный момент времени ток через катушку отсутствовал, поэтому сила тока будет максимальна через четверть периода: \[\tau = \dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{4}\sqrt{6LC}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.